《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章_第八章 空间解析几何与向量代数

第七章空间解析几何专向量代数 要的客 典型机邀

一、主要内容 二、典型例题

2157 一、主要内容 (一)向量代数 。(二) 空间解析几何 高等触号七⑦ ✉D冈☒

高等数学七⑦ 2/57 一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何

3y57 (一)向量代数 向量概念 向量的 向量的 线性运算 表示法 向量的积 数量积 混合积 向量积 态等款号七⑦ ☒冈I

高等数学七⑦ 3/57 向量的 线性运算 向量的 表示法 数量积 混合积 向量积 向量的积 向量概念 （一）向量代数

4157 1、向量的概念 定义：既有大小又有方向的量称为向量 重要概念： 向量的模、单位向量、零向量、 自由向量、相等向量、负向量、 平行向量、向径. 高等触号七⑦ ✉D冈☒

高等数学七⑦ 4/57 1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径. 重要概念: 向量的模、单位向量、零向量、 平行向量

5/57 2、向量的线性运算 a+b-c (①)加法：a+b=c (2)减法：a-b=d a-b=d (3)向量与数的乘法： 设是一个数，向量与2的乘积2a规定为 (1)2>0,2a与d同向，|2a=2|d川 (2)2=0,2a=0 (3)2<0,a与a反向，|2月元|dl 高普款号⑦ W☒

高等数学七⑦ 5/57 (1) 加法： a b c    + = 2、向量的线性运算 a b d    a − =  b  (2) 减法： a b c    + = a b d    − = (3) 向量与数的乘法： 设 是一个数，向量a  与 的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向， | a | | | | a |    =  

6/57 3、向量的表示法 向量的分解式：i=a,i+aj+a,k 在三个坐标轴上的分向量：ai,a,j,a 向量的坐标表示式：d={ax,a,02} 向量的坐标：ax,ay, 其中aa,a,分别为向量在x,y,z轴上的投影， 高等触号七⑦ ✉冈I

高等数学七⑦ 6/57 向量的分解式： { , , } x y z a = a a a  , , , . 其中ax, ay az 分别为向量在 x y z 轴上的投影 a ax i ay j az k     = + + 在三个坐标轴上的分向量： ax i ay j az k    , , 向量的坐标表示式： 向量的坐标： ax ay az , , 3、向量的表示法

7157 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 d={a,a,a,}万={b,b,b,} a+b={as +by,a,+by,a,+b.3 =(a.+b)i+(a,+b)i+(a,+b2)k a-b={a.-b,a,-b,a2-b} =(ax-b)i+(a,-b,)j+(a.-b,)k Ma=hay,Na,Na. =(2a)i+(2)j+(2a,)k 态等款号七⑦ ☒E冈☒

高等数学七⑦ 7/57 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 { , , } x y z a = a a a  { , , } b = bx by bz  { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz   { , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz   { , , } a = ax ay az  ax bx i ay by j az bz k    = ( + ) + ( + ) + ( + ) ax bx i ay by j az bz k    = ( − ) + ( − ) + ( − ) ax i ay j az k    = ( ) + ( ) + ( )

8/57 向量模长的坐标表示式aVa+a,+a, 向量方向余弦的坐标表示式 ax coSa= cos B= y a.+a,2+a a, COSy= a.2 (cos2a+cos2B+cos2y=1) 高等触号七⑦ ☒D冈I

高等数学七⑦ 8/57 2 2 2 | | a = ax + ay + az  向量模长的坐标表示式 2 2 2 cos x y z x a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z y a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z z a a a a + +  = 向量方向余弦的坐标表示式 ( cos cos cos 1 ) 2 2 2  +  +  =

9/57 4、数量积 (点积、内积) a.b-alb cose 其中0为0与b的夹角 数量积的坐标表达式 a.b-a bs+a,by+a.b: 两向量夹角余弦的坐标表示式 a bx+a,by +ab. c0s0= a+0,2+a,b2+b,+b b→ab+a,b,+a,b2=0 高普款号⑦ W☒

高等数学七⑦ 9/57 4、数量积 a b | a || b | cos      = 其中 为a  与b  的夹角 (点积、内积) a b = axbx + ayby + azbz    数量积的坐标表达式 a b   ⊥ axbx + ayby + azbz = 0 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式

10/57 5、向量积 (叉积、外积) |c曰la‖sin8 其中0为d与b的夹角 c的方向既垂直于a,又垂直i,指向符合 右手系 向量积的坐标表达式 axb =(ab.-a.b,)i+(a.b-ab.)j +(a b,-a b)k 高等触号七⑦ ✉冈I

高等数学七⑦ 10/57 5、向量积 | c | | a || b |sin    = 其中 为a  与b  的夹角 c 的方向既垂直于a  ，又垂直于b  ，指向符合 右手系. (叉积、外积) a b a b k a b a b i a b a b j x y y x y z z y z x x z    ( ) ( ) ( ) + − = − + − 向量积的坐标表达式 a b   