《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何 8-3 平面及其方程

第三为 第八章 平面及其方程 一、曲面方程和空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角

第三节 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 平面及其方程 第八章 一、曲面方程和空间曲线方程的概念

一、曲面方程与空间曲线方程的概念 引例：求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程， 解：设轨迹上的动点为M(x,y,),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4)月 化简得2x-6y+2:-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面， 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程

一、曲面方程与空间曲线方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x 1)  ( y  2)  (z  3) 化简得 2x  6 y  2z  7  0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2  (x  2)  ( y 1)  (z  4) 解:设轨迹上的动点为 M (x, y,z),则 AM  BM , 轨迹方程

定义1.如果曲面S与方程F(x,乃z)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,y:)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,)=0 曲面S叫做方程F(x,%z)=0的图形 空间曲线可视为两曲面的交线， 其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 G(x) =0i ,y,) 显然在此曲线上的点的坐标都 满足此方程组，不在此曲线上的点的坐标不满足此方程组

定义1. F(x, y,z)  0 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 S z y x O 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 G(x, y,z)  0 L F(x, y,z)  0 S1 显然在此曲线上的点的坐标都 满足此方程组, 不在此曲线上的点的坐标不满足此方程组

二、平面的点法式方程 设一平面通过己知点M。(x,yo,o)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程， 任取点M(x,y,)∈Ⅱ，则有 MoM⊥n 故 MoM.n=0 MoM=(x-0,y-yo,2-20) A(x-xo)+B(y-y0)+C(三-2o)=0 1 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面的法向量

O  z y x M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x  x0  B y  y0  C z  z0  M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n  (A , B, C), M M n 0 0 M0M n  则有 故 称 n 为平面 的

例1.求过点(2，-3,0)且以=(1，-2,3)为法线向量 的平面Ⅱ的方程 解：由平面的点法式方程，得该平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0

例1.求过点 且以 为法线向量 解: 由平面的点法式方程，得该平面的方程为 的平面 的方程. ( 2) 2( 3) 3 0, x y z      即 x y z     2 3 8 0

例2.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Ⅱ的方程 解：取该平面江的法向量为 n=MM2×MM M M3 -34 -6 M2 -23-1 又Mn发建 1442製3)(z-4)=0 即 14些出明经49.-》

i j k  例2.求过三点  (14, 9, 1) M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程.   3 4  6  2 3 1 n n  M1M2  M1M3  i 1 1 ( 1)    4 6 3 1    + j 1 2 ( 1)    -3 -6 -2 -1  + k 1 3 ( 1)    -3 4 -2 3   14 9 i j k   , 又M1  即 利用点法式得平面  的方程

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2+0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,o,20,则 Ax0+By%+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程 如3x-4y+z-9=0表示一个平面，法向量为=(3，-4,1)

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax  B y  Cz  D  0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 0 A x0  B y0  C z0  D  显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A  B  C  ② n  (A, B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 如 3 4 9 0 x y z     表示一个平面,法向量为 n   (3, 4,1)

Ax+By+Cz+D=0 (42+B2+C2+0) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面 ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥元，平面平行于x轴： ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面， ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面； ·Cz+D=0表示平行于xOy面的平面 ·Ax+D=0表示平行于yOz面的平面； ·By+D=0表示平行于Ox面的平面

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D = 0 表示 A x  By  C z  D  0 ( 0 ) 2 2 2 A  B  C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xOy 面 的平面; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面. n  (0, B,C)  i

例3.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0

例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A  D  0 设所求平面方程为 By  Cz  0 代入已知点 (4,  3, 1) 得 化简,得所求平面方程

平行于：轴，且通过两点M10,1),M2(2,-11)的平面方程是（) A.2x+3y-5=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x+y-1=0 从点P(2,-1-1)到一个平面引垂线，垂足为点P(0,2,5), 则这个平面方程是() A.2x+3y-6z+24=0 B.2x-3y-6:+36=0 C.2x-3y-6=-36=0D.2x-3y+6:+36=0