《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 多重积分 10-2 二重积分的计算法

第二节 第十章 二重积分多的汁算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分

第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章

一、利用直角坐标计算二重积分 若D为X-型区域 y=0(x) p(x)≤y≤p2(x） a≤x≤b y=o(x)b x 若D为Y-型区域 D0E24 小y c≤y≤d X= Ψ()

O y ( ) 1 x  y ( ) 2 x  y x d c        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 若D为 X - 型区域 O ( ) 1 y   x ( ) 2 y   x b x y D a x 若D为Y - 型区域        c y d y x y D ( ) ( ) : 1  2 y 一、利用直角坐标计算二重积分

曲顶柱体体积的计算V=∬fx,)do y=P2(x) 设曲顶柱的底为X型区域 D={x,y)lg,(x)≤y≤p(x),a≤x≤b 利用“截面面积已知的立体的体积”计算 a xo bx 任取xo∈[a,b],平面x=x,截柱体的 y=(x) 发积为= f(xo.y)dy 故曲顶柱体体积为 V=J∬fx,y)dG=∫Axdx 记 -fd1a国a @()dy 2x)

x f x y y x x b a d ( , )d ( ) ( ) 2 1      x b a [ ]d   曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为X-型区域 D x y x y x a x b      ( , ) ( ) ( ),   1 2  任取 平面 故曲顶柱体体积为  ( , )d  D V f x y 截面积为 f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1      b a A(x)d x 截柱体的 ( ) 2 y  x ( ) 1 y  x 0x z  f (x, y) z x y a b D O 记 作  ( , )d  D V f x y 利用“截面面积已知的立体的体积”计算

同样，曲顶柱的底为 D={(x,y)y)≤x≤W2(y),c≤y≤d 则其体积可按如下两次积分计算 y V=J∬f(xy)do d =/cnt1a, x=vi(y) 了ad

y d c [ ]d   D  (x, y) 1 ( y)  x  2 ( y), c  y  d  同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 ( , )d D V f x y    f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1    O y d c x ( ) 2 x  y ( ) 1 x  y y 记 作

说明：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域 则有 ∬fx,y)dxdy =02(x) P2(x) f(x,y)dy =ay0c,d 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干y X-型域或Y-型域，则 =+

x y O x y D O 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , ( , )d d  D f x y x y 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y  x a b ( ) 1 x  y ( ) 2 x  y d c 则有 x ( ) 1 y  x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1      b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1      d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D2 D1 D3 X - 型域或Y - 型域 , D D D D 1 2 3        则

例1.计算1=∬xydo,其中D是直线y=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 解法1.将D看作X-型区域，则D: 1≤y≤x 11≤x≤2 1=aa=【y2]dx是 =tx2-8 解法2.将D看作7.型区域，则D:≤X≤2 1≤y≤2 =了ax-t,-2-小-

1 2 1 2   2 1 dy 例1. 计算 d , D I x y    其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X - 型区域, 则    D : I   2 1 d x xyd y   2 1 d x      2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9    1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则    D : I   xyd x  2 1 d y   y x y 2 2 2 1      2 1 3 2 1 2y y dy 8 9  1 x y 2 1 y  x 1 x  2 y  x  2 1 y  2 y  x x y x y O

例2.计算 ∬xydo,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域 y 解：为计算简便，先对x后对y积分， 2三 则 9 y=x-2 yd-ddx =2y])a=20*22-1 +2+22-。1

例2. 计算 d , D x y   其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,    D :  d xy d x D  x y     2 1 dy      2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y     2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y  x 2 y  x  2 2 1 4 O y x y 2 2 y  x  y  1 y  2 2 y y  2 及直线 则

例3.计算 dxdy,其中D是直线y=x,y=0, x=π所围成的闭区域 解：由被积函数可知，先对x积分不行， 因此取D为X-型域： X三元 0≤y≤x 0≤x≤π =Josinxdx=I-cosx-2 说明：有些二次积分为了积分方便，还需交换积分顺序

例3. 计算 sin d d , D x x y x  其中D 是直线 所围成的闭区域. O x y D π x  π y  x 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 : 0 π 0 :        x y x D sin d d D x x y x    x y 0 d   π 0 sin xdx  2   π 0 d sin x x x 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序

例4.交换下列积分顺序 解：积分域由两部分组成 2=8 2≤x≤2N2 将D=D1+D2视为Y-型区域，则 22W2 D: V2y≤x≤V8-y2 0≤y≤2 xd f(x.y)dx

2 例4. 交换下列积分顺序        2 2 8 0 2 2 2 2 0 2 0 d ( , )d d ( , )d x x I x f x y y x f x y y 解: 积分域由两部分组成: , 0 2 0 : 2 2 1 1        x y x D 8 2 2 x  y  D2 2 2 y O x 2         2 2 2 0 8 : 2 2 x y x D 将D  D1  D2    D : 视为Y - 型区域 , 则 2 2y  x  8  y 0  y  2 ( , )d d D I f x y x y     2 8 2 ( , )d y y f x y x   2 0 dy D1 2 2 1 y  x

例5.计算I=xln(0y+√1+y)dd,其中D由 y=4-x2,y=-3x,x=1所围成 解：令fx,)=xIn(y-+V1+y2) D=DUD2(如图所示) 显然，在D上，f(-x,y)=-f(x,y) 在D2上，f(x,-y)=-f(x,y) I=∬xl0+V1+ydd +∬xlny+V1+y)dd=0

例5. 计算 其中D 由 4 , 2 y   x y  3x, x 1 所围成. O y 1 x 2 y  4  x y  3x D2 D1 x 1 解: 令 ( , ) ln( 1 ) 2 f x y  x y   y D  D1  D2 (如图所示) 显然, , 在D1上 f (x, y)   f (x, y) , 在D2上 f (x,y)   f (x, y) 1 2 ln( 1 )d d D     I x y y x y   0 2 2 ln( 1 )d d D    x y y x y  4