《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章多元函数微分法及其应用 9-7 方向导数与梯度

第七节 第九章 方向导数⅓梯意 一、方向导数 二、梯度

第七节 第九章 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度

一、方向导数 f(xo,yo)=lim fx+△x,o)-f(x,y) △x-→0 △x f(o,o)=lim f(xo,+△y)-f(xoJy】 △y-→0 △y 偏导数— 函数沿坐标轴方向的变化率 函数沿任一方向的变化率？方向导数 例如： [大气温度 在气象学中，需要确定气压 沿某些方向的变化率

一、方向导数 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x x f x x y f x y x        ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y y y f x y y f x y y        ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 函数沿坐标轴方向的变化率 函数沿任一方向的变化率？ 例如： 在气象学中,需要确定 大气温度 气压 . 沿某些方向的变化率 方向导数

设1是xOy平面上以P(x,y%)为始点的一条射线，g,=(cosa, Cos),是与同方向的单位向量，射线的参数方程： ↑y x=x +tcosa, (t≥0) y=yo+tcos B P(x,y) 设函数z=f(x,y)在点P(xo,)的 P(xo-Yo) 子 某个邻域U(P)内有定义，P(x。+1cosa,+1cosB)为1上另 一点，且P∈U(P),如果函数增量f(x。+1cosa,%+tcos) -f(x,)与P到P的距离PP|=的比值 f(xo+tcosa,yo+tcos B)-f(xo,o) t

0 0 0 ( , ) , (cos , l 设l xOy P x y e 是 平面上以 为始点的一条射线   cos ),  是与l l 同方向的单位向量,射线 的参数方程： 0 0 cos , ( 0). cos , x x t t y y t           0 0 0 P x y ( , ) l x y O l e 0 0 0 设函数z f x y P x y  ( , ) ( , ) 在点 的 0 0 0 某个邻域U P P x t y t l ( ) ( cos , cos ) 内有定义，     为 上另 P x y ( , ) 0 0 0 一点,且P U P f x t y t    ( ) ( cos , cos ) ,如果函数增量   0 0 0 0   f x y P P PP t ( , )与 到 的距离 的比值 0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t     

当P沿着趋于P(当1→0)时的极限存在，那么称此极限 为函数f(x,y)在点P沿方向的方向导数，记作 ,即 l\o) =lim f(x+tcosa,yo+tcos B)-f(xo,Yo) al t-→0 t (x0,6) 从方向导数的定义可知，方向导数可 就是函数f(x,y) 在点P(x,)处沿方向的变化率 若函数f(x,y)在点P(x,)的偏导数存在，=i=(1,0),则 =lim f(x+1,%)-f(xo, \(o3) f(x,%)月 1-→0

0 P l P t ( 0 ) 当 沿着 趋于 当   时的极限存在， 0 为函数f x y P l ( , )在点 沿方向 的方向导数， 那么称此极限 0 0 ( , ) , x y f l   记作 即 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos ) ( , ) = lim t x y f f x t y t f x y l t          从方向导数的定义可知， 0 0 ( , ) ( , ) x y f f x y l   方向导数 就是函数 0 0 0 在点P x y l ( , ) . 处沿方向 的变化率 0 0 0 若函数f x y P x y ( , ) ( , ) 在点 的偏导数存在， (1,0), l e i   则 0 0 ( , ) x y f l   0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) = lim t f x t y f x y t     = ( , ); x 0 0 f x y

又若e=j=(0,1),则 af =lim f(xo2 Yo+t)-f(Xo2 Yo) alw) f(x,)月 1→>0 t 但反之，若，=i存在，则 未必存在 例如，z=√x2+y在点O(0,0)处沿1=方向的方向导数： af V(0+)2+02-0 =lim a11o.) 1-→0 t /(0+△x)2+02-0 △x lim lim 不存在 xl(o.o) △x-→0 △x △x→0△X

(0,1), l 又若e j   则 0 0 ( , ) x y f l   0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) = lim t f x y t f x y t     = ( , ); y 0 0 f x y 0 0 ( , ) . l x y f e i x    但反之，若 存在，则 未必存在 2 2 例如,z x y O l i    在点 (0,0)处沿 方向的方向导数: (0,0) f l   2 2 0 (0 ) 0 0 = lim t t t      =1. (0,0) f x   而 2 2 0 (0 ) 0 0 = lim x x   x      0 = lim x x   x   不存在

定理：若函数f(x,y)在点P(x,)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 ∂f al =f(xoo)cosa+f(xo)cosB (x0,0) 其中cosa,cosB为I的方向角余弦 e 证明：设f(x,y)在点(xo,y)可微分，故有 f(x+△x,y+Ay)-f(xo,o)=f△x+f,△y+o(P) 取△x=1cosa,△y=1cosB,V(△x)2+(△y)2=1.所以 lim f(xo+tcosa,yo+tcos B)-f(xo2 Yo) 1→0 t =f(xo Yo)cosa+f (xo,o)cosB

0 0 0 定理: 若函数 f x y P x y ( , ) ( , ) , 在点 处可微 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )cos ( , )cos x y x y f f x y f x y l       证明: 且有 P0 l x y O l e 0 0 0 0 0 ( cos , cos ) ( , ) lim t f x t y t f x y t        0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos x y   f x y f x y  

例1.求函数z=xe2在点P(1,0)处从点P(1,0)到点 Q2,-1)的方向的方向导数 解：这里方向即向量PO=1,-1)的方向，与同向 的单位向量为总=万·一 coSa= =COS B=- 又函数可微分，且 =e2 =2xe2=2, axla.o) 1.0) 1.0) 1(1,0) 三2 √2 .) 2 2

例1. 求函数 在点 P(1, 0) 处从点P(1, 0)到点 Q(2,-1) 的方向的方向导数 . 解:

对于三元函数f(x,y,z)来说，它在空间一点P(x,yo,2) 沿方向e=(cosa,cosB,cosy)的方向导数为 =lim f(x+tcosa,%+tcosβ，2o+tcosy)-f(xo,yo,2o) alw 1→0 同样可以证明：如果函数f(x,y,z)在点(x,o,)可微分， 则函数在该点沿方向e=(cosa,cosB,cosy)的方向导数为 al =f (xo Yo=o)cosa+f (xoYo=)cos B (x0,0,20) +f(xo,%,2o)c0s7

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos , cos ) ( , , ) = lim , t x y f f x t y t z t f x y z l t            0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , )cos ( , , )cos x y x y z f f x y z f x y z l       0 0 0 ( , , )cos z  f x y z 

例2.求函数f(x,y,z)=xy+yz+zx在点1,1,2)沿方向1 的方向导数，其中的方向角为60°，45°，60° 解：与同方向的单位向量 3-6是司 又函数可微分，且 f11,2)=(y+212=3, f,(1,1,2)=(x+2lau2=3, 才，1,2)=(x+yla2=2, 112

例2. 求函数 解:

函数u=xz在点(5,1,2)处沿从(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数为() 89 A. B. 98 C.7 D.8 13 13