《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何 8-5 曲面及其方程

第五节 第八章 曲面及其方程 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

四、二次曲面 第五节 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 曲面及其方程 第八章

一、曲面研究的基本问题 关于曲面研究有下列两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面的方程 (2)已知坐标x、y和间方程时，研究方程所表示的曲面 形状

一、曲面研究的基本问题 关于曲面研究有下列两个基本问题: (2) 已知坐标x、y和z间方程时,研究方程所表示的曲面 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立曲面的方程; 形状

例1，求动点到定点Mo(xo,0,2o)距离为R的轨迹 方程 解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意M,M=R 即 V(x-x)2+(y-y0)2+(2-0)2=R 故所求方程为 (x-x0)2+(y-%)2+(:-0)2=R2 特别，当M在原点时，球面方程为 x2+y2+2=R2 z=±√R2-x2-y2表示上（下）球面

故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 M O x y z M0 表示上(下)球面 . x  x  y  y  z  z  R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x  x )  ( y  y )  (z  z )  R 2 2 2 2 x  y  z  R

例2.研究方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样 的曲面， 解：配方得 (x-1)2+y+2)2+z2=5 可见此方程表示一个球面 球心为Mo(1,-2,0),半径为√5 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+z2)+Dx+Ey+Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 个球面，或点，或虚轨迹

例2. 研究方程 解: 配方得 M 0 (1, 2, 0), 5 可见此方程表示一个球面 说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 的曲面. 表示怎样 球心为 半径为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹

二、旋转曲面 定义1，一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴. 例如：

定义1. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴. 例如 :

建立yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 给定yOz面上曲线C:f(y,z)=0 若点M1(0,)eC,则有 f(y,)=0 当绕：轴旋转该点转到 M1(0,y1,21) M(x,y,),则有 M(x,y 2=1, x2+y2= 故旋转曲面方程为 f(±x2+y2,)=0 方程的特点：在f(y,)=0中 了不变 y变为士x2+y

建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, ( , ) 0 f y1 z1  (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yOz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z 1 2 2 1 z  z , x  y  y 则有 ( , ) 0 2 2 f  x  y z  则有 该点转到 f ( y,z)  0 O z y x C M (x, y,z) 方程的特点：在 f ( y,z)  0 中 z不变 y变为 2 2  x  y

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？ C:f(y,)=0 f(y,±Vx2+z2)=0

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f ( y,z)  0 O y x z ( , ) 0 2 2 f y  x  z 

例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为0 的圆锥面方程 解：在yOz面上直线L的方程为 z=ycota 绕z轴旋转时，圆锥面的方程为 M(0,y,=) z=±x2+y2 cota 令a=cota 两边平方 z2=a2(x2+y2)

x y z O 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 ( ) 2 2 2 2 z  a x  y  两边平方 L M (0, y,z)

例4.求坐标面xOz上的双曲线 x2 =1分别绕x a2 c2 轴和：轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解：绕x轴旋转所成曲面方程为 x2 y2+2 绕z轴旋转所成曲面方程为 x2+y22 旋转双叶双曲面 这两种曲面都叫做旋转双曲面。 旋转单叶双曲面

x y z O x y z O 例4. 求坐标面 xOz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解: 绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c z a x y 旋转双叶双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 x y z O 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 旋转单叶双曲面

三、柱面 引例.分析方程x2+y2=R2 表示怎样的曲面. 解：在xOy面上，x2+y2=R2表示圆C 在圆C上任取一点M1(x,y,O),过此点作 平行z轴的直线1，对任意z,点M(x,y,) 的坐标也满足方程x2+y2=R2 沿圆周C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面.其上所有点的坐标都满足此方程，故在空间 x2+y2=R2表示圆柱面

x y 三、柱面 z 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xOy 面上， 表示圆C, 2 2 2 x  y  R 沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 2 2 2 x  y  R 过此点作 柱面. 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 表示圆柱面 C 在圆C上任取一点 ( , ,0), 1 M x y l M M1 点M (x, y,z) 其上所有点的坐标都满足此方程, O