《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）函数的极限

第三节！ 函数的极限 函数极限的定义 二 函数极限的性质

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 函数的极限 一、 函数极限的定义 二、 函数极限的性质

一、自变量趋于有限值时函数的极限 对y=f(x), (1)x→x0(2)x→x0 (3)x→x0 1.函数极限的定义 如果当x无限地接近于x时，函数x)的值无限地接近 于常数A,则常数A就叫做函数孔x)当x→x时的极限，记作 1imf八x)=A或fx)→A(当x→xo). 分析 x→x0 当x→x时，x)→A. 台当x-xo→0时，x)A-→0. 一当x-x小于某一正数后，x)-A能小于给定的正数&. 一任给>0，存在6>0，使当x-xl<6时，有x)A<G

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、自变量趋于有限值时函数的极限 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近 于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限记作 1. 函数极限的定义 分析: 当x→x0时 f(x)→A 当|x-x0 |→0时 |f(x)-A|→0 当|x-x0 |小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e  任给e 0 存在d 0 使当|x-x0 |d 时 有|f(x)-A|e 0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→ 0 x )

山东农业大 主计 本堂 定义1.设函数f(x)在点xo的某去心邻域内有定义 若V6>0,36>0,当00,36>0，当x∈U(xo,6) x→x0 时，有f(x)-A 函数局部有界 (P36定理2) x,-6Xox0+δX

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , e  0, d  0, 当 0  x − x0  d 时, 有 f (x) − A  e 则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: x0 +d A+e A−e A x0 x y y = f (x) 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明:

注 1)8-6语言表述 1imf(x)=A=廿8>0,36>0，当x∈U(xo,δ) x→X0 时，有f(x)-A<6 2)0<x-x表示x≠xo,.x→x时f(x)有 无极限与f(x)有无定义没有关系 3)任意给定后，才能找到6,6依赖于8，一般的 ε越小，δ越小. 4)6不唯一，也不必找最大的，只要存在即可

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注 1） e −d 语言表述 2） 0  x − x0 表示 x  x0 , x → x0 时 f ( x) 有 3) e 任意给定后，才能找到d ， d 依赖于 e ，一般的 e 越小，d 越小. 4) d 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可. 当 时, 有 ( ) x0 无极限 与 f 有无定义没有关系

主计 、:苏本堂 例1证明imC=C,(C为常数) x→x0 证He>0,36>0,当00，取6=6， 当0<x-x<6=e时， f(x)-A=x-x,<E成立， .limx=xo. x→x0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 lim . 0 C C x x  = → lim . 0 0 x x x x  = → 例1 lim , 0 C C x x = 证明 → (C为常数) 证 e  0, d  0, 当 0  x − x0  d 时, f (x) − A = C − C = 0e 成立, 例2 lim . 0 0 x x x x = 证明 → 证 ( ) , x A x x0  f − = − e  0, 取 d = e ,  −  d = e 当 0 x x0 时, 0 f (x) − A = x − x e 成立

例3.证明lim(2x-1)=1 x->1 证：f(x)-A=(2x-1)-1=2x-1 ε>0，欲使f()-A<6,只要x-1<3, 取6=，则当0<x-1<6时，必有 f(x)-A=(2x-1)-1<8 因此 1im(2x-1)=1 x→1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 证明 证: = 2 x −1 e  0, 欲使 取 , 2 e d = 则当 0  x −1  d 时 , 必有 因此 只要

高等数学 主讲》 苏本堂 例4.证明lim =2 x→1x-1 证：f(x)-A= =x+1-2=x-1 故Ve>0,取6=8，当01x-1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 证明 证: f (x) − A 故 e  0, 取 d = e , 当 时 , 必有 −  e − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x

例4.证明：当xo>0时1imx=√xo. x→X0 证：0-A=x-x+0 x-xo V/0 Vε>0，欲使f(x)-A<6,只要x-x<x,且 x≥0.而x≥0可用x-xo≤xo保证.故取 6=min{√x,xo},则当0<x-xo<6时，必有 x-x<8 因此 lim√x=Vx0 x x→X0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 证明: 当 证: 0 0 1 x x x  − e  0, 欲使 且 而 可用 因此 只要 0 0 lim x x x x = → 时 故取 min , , 0 0 d = x e x 则当 0  x − x0  d 时, 保证 . 必有 o x x0 x

1东农 2.单侧极限 当自变量x从x的左（或右）侧趋于x时，函数x)有极 限A,则称A为函数x)当x→x时的左（右）极限，记作 lim f(x)=4 f(xo)=A (f(xo")=A) (x→x0) 思考题：写出左右极限的精确定义 3.单侧极限和极限的关系 函数孔x)当xx时极限存在的充分必要条件是左 极限与右极限均存在且相等，即 Iimf(x)=A台f(x。-0)=f(x,+0)=A X→X0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 单侧极限 当自变量x从x0的左(或右)侧趋于x0时，函数f(x)有极 限A，则称A为函数f(x)当x→x0时的左(右)极限，记作 0 0 ( ) lim ( ) x x x x f x A − + → → = 或 0 0 f x A f x A ( ) ( ( ) ) − + = = 思考题: 写出左右极限的精确定义 3. 单侧极限和极限的关系 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左 极限与右极限均存在且相等，即 =  → f x A x x lim ( ) 0 f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = A

例5.设函数 x-1, x0 V= 讨论x>0时f(x)的极限是否存在 解： 因为 lim f(x)=lim (x-1)=-1 x-→0 x→0 lim f(x)=lim (x+1)=1 x→0 x→0 显然f0)≠f(0+),所以limf(x)不存在 x>0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 设函数     +  = −  = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x x x f x 讨论 x →0 时 f (x) 的极限是否存在 . x y o −1 y = x −1 1 y = x +1 解: 因为 lim ( ) 0 f x x→ − lim ( 1) 0 = − → − x x = −1 lim ( ) 0 f x x→ + lim ( 1) 0 = + → + x x =1 显然 (0 ) (0 ) , − + f  f 所以 lim ( ) 0 f x x→ 不存在