《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）函数的图像的描绘

主进 苏本堂 第六节函数的图像的描绘 一、曲线的渐近线 二、函数图像的描绘

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六节函数的图像的描绘 二、函数图像的描绘 一、 曲线的渐近线

一、曲线的渐近线 定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点 时，点M与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为 曲线C的渐近线. y=f(x) 或为“纵坐标差” y=kx+b 例如，双曲线 a 有渐近线 x±=0 a b 但抛物线y=x2无渐近线

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 曲线的渐近线 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线  = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” N L y = k x +b M x y o C y = f (x) P x y o

山东农业大 1.水平与铅直渐近线 若limf(x)=b,则曲线y=f(x)有水平渐近线y=b. (或x→-∞) 若1imf(x)=oo,则曲线y=f(x)有垂直渐近线x=xo. x→x0 (或x→x) 例1.求曲线y= +2的渐近线 x-1 解：lim( +2)=2 x→0X-1 .y=2为水平渐近线； 1 :lim(,+2)=o,∴.x=1为垂直渐近线 x→1x-1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y = b. (或x → −) 若 则曲线 有垂直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或x x 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x −   y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + =  x→ x −   x =1 为垂直渐近线. 2 1

2.斜渐近线 (P76题14) 若1im[f(x)-(x+b)]=0,则曲线y=f(x)有 X→+00 (或x→-o0) 斜渐近线y=kx+b lim [f(x)-(kx+b)]=0 X→十00 k=lim /(x) b X→+00 X X 2-k b1=0 lim f(x) x-→+00X (或x→-0) lim 01=0 b=lim[f(x)-kx灯] x→十00 L (或x→-o)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 斜渐近线 斜渐近线 y = kx + b. (或x → −) 若 (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x x (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x ] ( ) lim [ x b x f x k x = − →+ x f x k x ( ) lim →+  = b lim [ f (x) kx] x = − →+ (或x → −) (或x → −) ( P76 题14)

本堂 例2.求曲线y= 2+2x-3 的渐近线 解：y x3 lim y=co, (x+3)x-1)x-→-3 (或x→1) +3 所以有铅直渐近线x=-3及x=1 又因k=limf) =1im x =1 X-→00X x-→0x2+2x-3 -2x2+3x b=lim [f(x)-x]=lim- 三一2 X>00 x0x2+2x-3 y=x-2为曲线的斜渐近线

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求曲线 的渐近线 . 解: , ( 3)( 1) 3 + − = x x x  y lim , 3 =  →− y x (或x →1) 所以有铅直渐近线 x = −3 及 x =1 又因 x f x k x ( ) lim → = 2 3 lim 2 2 + − = → x x x x b lim[ f (x) x] x = − → 2 3 2 3 lim 2 2 + − − + = → x x x x x  y = x − 2为曲线的斜渐近线 . −3 1 y = x − 2

二、函数图像的描绘 描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求函数的一阶和二阶导数，求出一阶、二阶导数 为零的点，求出一阶、二阶导数不存在的点； (3)列表分析，确定曲线的单调性和凹凸性； (4)确定曲线的渐近性； (⑤)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点； (6)联结这些点画出函数的图形

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数 求出一阶、二阶导数 为零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形 描绘函数图形的一般步骤 二、函数图像的描绘

例3画出函数y=x3-x2-x+1的图形 解(1)函数的定义域为(-∞，+∞) (2f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)x-1),f"(x)=6x-2=2(3x-1). 令f'(x)=0得x=-1/3,1;令f"(x)=0得x=1/3 (3)曲线性态分析表： x(-∞，-1/3)-1/3(-1/3,1/3）1/3(1/3,1) 1 (1,+0) f'(x) + 0 0 + f"(x 0 + + + f(x) 7∩ 掇 n U 极小 U (4)特殊点的函数值：0)=1，-1)=0,3/2)=5/8

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 画出函数y=x 3−x 2−x+1的图形 解 (1)函数的定义域为(− +). (2)f (x)=3x 2−2x−1=(3x+1)(x−1) f (x)=6x−2=2(3x−1) 令f (x)=0得x=−1/3 1 令f (x) =0得x=1/3 (3)曲线性态分析表 f (x) f (x) f (x) ＋ 0 － － － 0 ＋ － － － 0 ＋ ＋ ＋ 32/27 极大 0 极小 16/27 ↗∩ ↘∩ 拐点 ↘∪ ↗∪ (4)特殊点的函数值: f(0)=1, f(−1)=0, f(3/2)=5/8. x (−,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1 +)

山东农业大 等数 方本堂 例3画出函数y=x3-x2-x+1的图形： 解 曲线性态分析表： (-o0,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3,1) (1,+0) f(x) n s0 sU 极小 U 特殊点的函数值：0)=1，-1)=0,32)=5/8 描点联线画出图形 32 =x3-x2-x+1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 描点联线画出图形. 特殊点的函数值: f(0)=1, f(−1)=0, f(3/2)=5/8. ) 27 32 , 3 1 (− ) 27 16 , 3 1 ( ) 8 5 , 2 3 ( y=x 3−x 2−x+1 f (x) (−,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1 +) 32/27 极大 0 极小 16/27 ↗∩ ↘∩ 拐点 ↘∪ ↗∪ x 例3 画出函数y=x 3−x 2−x+1的图形 解 曲线性态分析表

例4作函数fx)=1e2 的图形 √2π 解(1)函数x)的定义域为(-0，+0)， x)是偶函数，图形关于y轴对称. ②f=e，%=c+u-少。 √2元 √2π 令f'(x)=0,得x=0;令f"(x)=0,得x=-1和x=1. (3)曲线性态分析表： X 0 (0,10 (1,+∞) f'(x) 0 "(x) 0 + x)的图形 2.极大Nn 拐点 sU 2 (4)曲线有水平渐近线y=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 (1)函数f(x)的定义域为(-, +) f(x)是偶函数 图形关于y 轴对称 例 2 作函数 2 2 1 2 1 ( ) x f x e − =  例4 的图形 令f (x)=0 得x=0 令f (x)=0 得x=-1和x=1 (3)曲线性态分析表 极大 2 1 2e 1 拐点 x 0 (0, 1) 1 (1, +) f (x) f (x) y=f(x)的图形 0 － － － － － 0 ＋ ↘∩ ↘∪ (4)曲线有水平渐近线y=0 (2) 2 2 1 2 ( ) x e x f x −  = −   2 2 1 2 ( 1)( 1) ( ) x e x x f x + − −  =  (2)  2 2 1 2 ( ) x e x f x −  = −   2 2 1 2 ( 1)( 1) ( ) x e x x f x + − −  =  

山东农业大 高等数学 办本堂 例4作函数f)=2元 e2的图形. 解函数性态分析表： 0 (0,1) (1,+∞) =x)的图形 极天n 拐点 /2e y=0是曲线的水平渐近线， 先作出区间(0，+0)内的图形，然后利用对称性作出区 间(-0,0)内的图形 1 2元 D

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 y=0是曲线的水平渐近线 极大 2 1 2e 1 拐点 x 0 (0, 1) 1 (1, +) y=f(x)的图形 ↘∩ ↘∪ 先作出区间(0,+)内的图形然后利用对称性作出区 间(-, 0)内的图形 解 函数性态分析表: 例 2 作函数 2 2 1 2 1 ( ) x f x e − =  例4 的图形 2 2 2 1 x y e − =  x y o A B 2 1