《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）微分方程的基本概念（山东农业大学：苏本堂）

山东农业大学 第七章微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。 在本章介绍几种简单类型微分方程的求解

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七章 微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。 在本章介绍几种简单类型微分方程的求解

主讲人：苏本堂 第一节微分方程的基本概念 本节通过几个具体的例题来说明微分方程 的基本概念

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节微分方程的基本概念 本节通过几个具体的例题来说明微分方程 的基本概念

引例一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点Mx, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程， 解设所求曲线的方程为y=x),则 dy=2x. dx 上式两端积分，得 y=∫2xk=x2+C (C为任意常数) 因为曲线通过点(1,2)，即当x=1时，y=2,所以 2=12+C,C=1. 因此，所求曲线方程为y=x2+1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设所求曲线的方程为y=y(x), 则 引例 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 解 x dx dy =2  上式两端积分得 因为曲线通过点(1 2) 即当x=1时 y=2 所以 2=1 2+C C=1 因此 所求曲线方程为 y=x 2+1 (C为任意常数)  y = 2xdx

方本堂 引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时 获得加速度a=-0.4m/s2,求制动后列车的运动规律 解：设列车在制动后1秒行驶了s米，即求s=s(① d2s =-0.4 已知 dt2 ds S=0=0, dft=0=20 由前一式两次积分，可得 s=-0.2t2+C1t+C2 利用后两式可得 C1=20,C2=0 因此所求运动规律为 s=-0.2t2+20t 说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住，以及制动后行驶了多少路程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 引例2.列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2 = − + 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t)

微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程（本章内容） 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,.,y)=0 或ym=f(x,y,y,.,ym-)(n阶显式微分方程)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( )  = n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或

主 微分方程的解一使方程成为恒等式的函数 通解一 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解一 不含任意常数的解，其图形称为积分曲线 定解条件一确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件（或初值条件）： y(x0)=0,y'(x0)=y%,ym-(x0)=% n-l) 引例1 出=2x d-y dr2 =-0.4 引例2 yx=1=2 -0=0,10=20 d s 通解： y-x2+C s=-0.2t2+Ct+C2 特解： y=x2+1 s=-0.2t2+20t

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 0 , s t=0 = 20 d 0 d = t t= 引例2 s 0.4 2 2 d d = − x y — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − =  =  = n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d = y x=1= 2 引例1 y = x +C 2 1 2 2 通解: s = −0.2t +C t +C s 0.2t 20t 2 1 = − + 2 特解: y = x + 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线

例1.验证函数x=C1 coskt-+C2 sinkt(C1,C2为常数) 是微分方程 d,+x=0的解，并求满足初始条件 d2x x1-0=A dit=00的特解 dx 解： d2x d2=-Cik2coskt -C3k2sin kt =-k2(C]sinkt+C2coskt)=-k2x 这说明x=C1 cos kt-+C2 sinkt是方程的解 C,C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解 利用初始条件易得：C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acoskt

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 解: ( sin cos ) 1 2 2 = −k C kt +C kt 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x = Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件

主讲 苏本 作业：p-298习题7-1 2(3),(4)；3(2)；4(2),(3)；5

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：p-298习题7-1 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 5