《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）偏导数

第二节偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 第二节 偏 导 数

定义1.设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内 极限 lim f(xo+Ax,Yo)-f(xo2 yo) △→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,yo)对x 的偏导数，记为 02 of o:0))) fx(xo,yo);f(o2yo). 注意：才(x%)=1im f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo) △x→0 △x . d

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点 (x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f   x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f  x y x f x x y f x y x  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :

同样可定义对y的偏导数 f(xo.yo)=lim f(oo+A)-f(xoyo) △y→0 △y 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 ,x,x,0,x,川 ax’Ox t,川.f ay'ay

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 同样可定义对y 的偏导数 lim  →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y  ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z    

偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=fx,y,)在点(x,y,)处对x的 偏导数定义为 (x,y,2)=lim(x+Ax,v.=)-f(x.y,2) △x→0 △x f(x,y,z)=? (请自己写出) f2(x,y,z)=?

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x f (x, y,z) = ? y f (x, y,z) = ? z x 偏导数定义为 (请自己写出)

二元函数偏导数的几何意义： of 8x (.3)x y=Yo 是曲线 z=f(x,y在点M处的切线 1y=y0 Yo MoT,对x轴的斜率 of 是曲线 z=f(x,)在点M处的切线MoT,对y轴的 x=X0 斜率

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = =   = =    = = 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = =   = = 是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 对 y 轴的

苏本堂 注意：函数在某点各偏导数都存在， 但在该点不一定连续 例如，=={+20 0，x2+y2=0 显然 天(0,0)= x时=00 d f,0,0)=f0,)y=0=0 在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续！

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如,      + = +  = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y = 0 = 0 注意： 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!

例1.求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解法1： 0=2x+3y, Ξ=3x+2y 2)-21+3-2=8,2y31+2-2-7 0z 0z 解法2：2)-2=x2+6x+4 6x1,2)=(2x+6x=1=8 zx=1=1+3y+y2 (1,2)=(3+2y,-2=7 0z

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 . 求 2 2 z = x + 3xy + y 解法1: =   x z x (1,2) z    解法2: x (1, 2) z   在点(1 , 2) 处的偏导数. y (1, 2) z   2x + 3y , =   y z 3x + 2y y (1,2) z   6 4 2 = x + x + x=1 z 2 =1+ 3y + y y=2 z

山东农形 主讲 方本堂 例2.设z=x’(x>0,且x≠D,求证 xOz 1 0z yox Inxay -22 02 =yx-1 6z 证： x"Inx 8x Oy x8z .1∂z yox Inxay =xY+x"=22 例3.求r=V2+y2+z7 的偏导数.(P65例4) Or 2x 解： = 8x 2vx2+y2+ 2 Or Or 0y 六 0z

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 设 z = x y ( x  0, 且 x  1）， z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   证: y z x x z y x   +    ln 1 例3. 求 的偏导数 . (P65 例4) 解: =   x r 求证 = 2z 2 2 2 2 x + y + z 2x r x = r z z r =  

例4.已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常数)， 求证： op av aT =-1 av af ap RT 证：p= ap RT V av v2 说明：此例表明， V= RT av R 偏导数记号是一个 p OT p 整体记号，不能看作 T= 8t V 分子与分母的商！ R Op R av aT RT =-1 av aT op pV

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: = −1         p T T V V p 证: , V RT p = , p RT V = =          p T T V V p 说明: (R 为常数) , =   V p 2 V RT − =   T V p R pV RT − = −1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号

山东农业大 二、高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 =fx,), 8x =fx,月 ay 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导 数 8x 8xay 8x 8yax

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x = y   =   若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z   ( ) y z x     ( ) x z y     ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y = y y   =     则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数. 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 2 2 x z   = f (x, y); = xx x y z    = 2 f (x, y) = x y ( , ); 2 f x y y x z = y x    = x  数: