《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）数量积向量积*混合积

山东农大号 主讲人：本衣堂 §8.2第二节数量积向量积*混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积 §8.2 第二节数量积向量积*混合积

本堂 一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=F‖cos0 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M M2 1a6cosp记作 记作 ab W=F.3 为a与b的数量积（点积）

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a, b s

当a≠0时，b在d上的投影为 |万cos0记作Pri4万 B 故 ab=a Prja b a 同理，当b≠0时： a.b=bPrjga 2.性质 a≠0，b≠0 (1)a.a=ap 则a.b=0 (2),b为两个非零向量，则有 a.b=0aLb (d,= 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  b 在a上的投影为   记作 故 同理,当 0 时,   b  2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba  b Prj a b = a ba  Prj (1) a  a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a  0, b  0

1-/ 苏本堂 3.运算律 (1)交换律a.b=bd (2)结合律(，u为实数) (d)-b=a:(2b=(db) (a+) (a)(ub)=(a.(ub) =2u(a.b) Prje a Prje b (3)分配律(d+b)d=d+b· Prje(a+B) 事实上，当c=可时，显然成立，当≠0时 (@+b)c=cPrjc(a+b)=G|(Prje@+PrjcB) =Prjaa+c Prjab=a.c+b.c

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b) =  ( a ( b) ) =   (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c  0时 c (a + b) b a bc  a Prj c  Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c   Prj + Prj ac  = c Prj bc  + c Prj = a  c + b  c Prj (a b) c  +

例1.证明三角形余弦定理 c2 a2 +b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b B a c=(d-b(d-)=d.d+b.b-2a:6 =|ap+|B2-2allBlcos0 a=a,b=b,c=o c2 a2+b2-2abcos0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 A B C  a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a − b)(a − b)= a  a + b b − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c

1-/ 4.数量积的坐标表示 设a=a,i+a,j+a.元b=bi+b,j+b.K,则 a.B=(as i+ay j+aK)(bsi+by j+bk) i=万=元=1，ij=jk=ki=0 a.b=axbx +ayby +a-b 两向量的夹角公式： 当a,b为非零向量时，由于a.b=a‖bcos0,得 axbx +ayby +a-b- c0S0= a.b a va+a;+a2 ++b2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 x y z a + a + a 2 2 2 x y z b + b + b 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z ( a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i  j = j  k = k i a b a b 两向量的夹角公式: , 得

例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB A 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) B 则 COs∠AMB= MA.MB M MAMB 1+0+01 √2√2 2 故 ∠AMB= π 3 P

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 MA = ( ), MB = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2,2,1),B( 2,1,2),  AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AMB = 1+ 0 +0 2 2 AMB = 求 MA  MB MA MB 故

例3.设均匀流速为下的流体流过一个面积为A的平 面域，且y与该平面域的单位垂直向量的夹角为0， 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度 为p). 解：P=DA cos0 为单位向量 =pAv.n 单位时间内流过的体积 Av cose

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 为  ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量  A 解: 单位时间内流过的体积 P = =  A 且 的夹角为 v v v  n 为单位向量

二、两向量的向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M: M=oF=opFsine OP三F三M符合右手规则 M⊥OP M⊥F 0Q=OP sin0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L   Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP  F  M M ⊥ OP M 矩是一个向量M : 的力 F 作用在杠杆的P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F

等数 主计 方本堂 1.定义 设a,b的夹角为0，定义 方向：c1d,c⊥b且符合右手规则 向量c l模：c=asin0 称一为向量a与b的向量积，记作 c=axb(叉积) a 引例中的力矩M=OP×F -axb 思考：右图三角形面积 s=? axb

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c ⊥ a , c ⊥ b c = a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b的 c = ab 引例中的力矩 = ab 思考: 右图三角形面积  a b S＝