《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）多元复合函数的求导法则

山东农业大 苏本堂 第四节多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 第四节多元复合函数的求导法则

一、多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数u=p(t),v=(t)在点t可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(0(t),V() 在点t可导，且有链式法则 dz Oz du oz dv dt ou dt ay dt u 证：设t取增量△t,则相应中间变量 有增量△u,△v, △2= u+gsr+a(p)=iw) Ou Ov

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 有增量△u ,△v

△z Oz△u,az△v,o(p) (p=V(△0)2+(A)2) △t Ou△t v△t △t 令△t→0，则有△u→0，△v→0， △u、du △v.dv △t dt' △t dt o(p)_ o(p) △t (△t<0时，根式前加“”号) dz Oz du oz dv (全导数公式) dt au di Oy dt

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，z=(u,y,w), u=p(t),v=w(t),w=@(t) dz oz du oz dy oz dw dt ou dt av dt ow dt W =f'0'+f3y+f3o t 2)中间变量是多元函数的情形.例如， z=f(u,v),u=p(x,y),v=W(x,y) 0=_0z.Qu.B=.0v -foi+fiwi 8x au ax Ov Ox OzOz Ou +.0=fp+y奶 y x ay ou dy ov dy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + u = (t), v = (t), w = (t)

本堂 又如，z=f(x,v),v=W(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 af of ov 0x Ox Ov Ox =f+叭 8z ofov 0y av 8y =2w2 注意：这里 与 8x 不同， x 表示固定v对x求导 8x 表示固定y对x求导， 8x 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v

例1.设z=e“siny,u=xy,v=x+y,求 Bz Bz Ox'ay 解： OzOz Ou 8z Ov 8x Ou Ox Ov Ox =e"sinv·y+e“cosv.l Z =ex[y.sin(x+y)+cos(x+y)] u 0z Oz ou,0z Ov ay ou ay'av dy =e"sinv·x+e“cosv.l =ex%[x.sin(x+y)+cos(x+y)]

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 设 z e sin v , u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y

苏本 例2.u=f(x,八，2)=e2++:2,2=x2siny求 u ou Ox'Oy 解： ou of of oz 8x 8x 8z 8x =2xe++2+2ze+y2+: 2 .2xsin y L =2x(1+2x2sin2 y)ex++xsin2y x y Z Bu of of.Bz X oydy dz oy =2e2+y24:+2ze2+y2+ 2 2 2 ·x-COS V =2(y+xsin ycosy)si2y

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u y u   2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2 ( sin cos ) + + = + x f   = 2 2 2 2 x y z ze + + + y f   = y z z f      + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 xsin y x cos y 2 

例3.设z=uv+sint,u=e,v=cost,求全导数 dz dt 解： dz oz du Oz dv oz dt =ve-usint cos t u V =e'(cost-sint)+cost t 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到，下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 设 z = uv + sin t , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin ) + cos t u u z d d    = t z   + u = e t , v = cost , 求全导数 解: + cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设w=f(x+y+2,xyz),f具有二阶连续偏导数， 求 Ow 82w Ox0x8z w:f:5 解：令u=x+y+z,v=xyz,则 w=f(u,v) Ow =1+分归 Ox =f(x+y+z,xyz)+yzf(x+y+z,xyz) 8x82 =fm1+f位xy+yf分+z[f11+f2x列 =f+yx+)n2+xy-zf2+yf

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 为简便起见 , 引入记号 , , 2 1 12 u v f f u f f     =    = 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解: 令 u = x + y + z , v = xyz, x w   w u v x y z x y z w = f (u, v) + f   yz 2 ( , ) 2 + y z f  x + y + z xyz 则 x z w    2 22 2 2 11 12 = f  + y(x + z) f  + xy z f  + y f  + f   xy 12 + f   x y 221 2 , f  , f 

练习1.设“=fy） 求偏导数。 2=f Bu =升(- o )+分： + =6(是

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 练习 1. 设 =   x u 1 f  1 1 f y =  =   y u 1 f  2 + f  =   z u 2 f  2 1 2 1 f z f y x = − +  2 2 f z y = −  求偏导数