《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）常数项级数的审敛法

主计 本堂 第二节常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛

、 正项级数及其审敛法 00 若4n≥0，则称∑4n为正项级数 n=1 定理1.正项级数∑n收敛二部分和序列S。 n=] (n=1,2,.)有界 证：“”若4n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n=l 4n≥0，.部分和数列{Sn}单调递增， 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=l

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、正项级数及其审敛法 若  0, n u   n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “

等数学 本 00 定理2（比较审敛法） 设∑4n,∑yn是两个正项级数 n=l n=1 且存在N∈Z+,对一切n>N,有un≤ym 则有 (1)若级数 ∑y收敛，则级数 ∑4n也收敛 n=1 n=l (2)若级数 ∑4n发散， 则级数 ∑yn也发散 n=1 n=1 证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨 设对一切n∈Z+,都有4n≤Vn, 令Sn和on分别表示两个级数的部分和，则有

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示两个级数的部分和, 则有 是两个正项级数, 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨

Sn≤On (1)若级数 ∑n收敛，则有on≤M n=1 因此对-切n∈Z,有Sn≤on≤M 由定理1可知，级数 ∑4n也收敛 n=l (2)若级数 ∑4n发散，则有1imSn=o, n=1 1n→0 因此lim0n=∞，这说明级数 n→a0 ∑也发散. n=

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (1) 若级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若级数 则有 因此 这说明级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 级数

山东农大 等数学 方本堂 例1.讨论p级数1+ 2P n2+.(常数p>0) 的敛散性！ 解：1)若p≤1，因为对一切n∈Z, 、1 n 00 1 而调和级数 n=1h 发散，由比较审敛法可知p级数∑ 发散

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数   =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时 故 2b 1 1 np-1 1]2司 n2- (n+1)P- s到，a+p]1a n→o0 故强级数收敛，由比较审敛法知级数收敛

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n →  故强级数收敛, 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若

山东农业大 等数学 主讲 办本堂 调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在NeZ+,对一切n≥W, 04,≥则2n发散： n=l ②dp>》期立枚数 00 n=1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N  Z 对一切 n  N

例2.证明级数 n(n+1) 发散. 证：因为 mn+元之ya+W 1 (n=1,2,.) n+1 而级数 发散 k=2 根据比较审敛法可知，所给级数发散

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散. 例2

山东农大 主讲 苏本堂 定理3.（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 00 ∑4n,∑yn满足1im4n=l,则有 n=1 n=l n-→oVn (1)当00，存在NeZ+,当n>N时， 整-<公(*0)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3.(比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时

(l-8)vn≤un≤(1+8)vn (n>N) 00 0 (1)当0≤1N),由定理2知 若∑yn收敛，则∑4n也收敛； n=l n=l (③)当1=oo时，存在N∈Z+,当n>N时，4>1，即 Un >Un 00 00 由定理2可知，若∑n发散，则∑n也发散. n=l n=l

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 n n n (l − )v  u  (l +  )v 由定理 2 可知   n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若   n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n=1 n 若 v 收敛