《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）隐函数的求导方法

山东农业大 苏本 第五节隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形 第五节隐函数的求导方法

本节讨论： 1)方程在什么条件下才能确定隐函数： 例如，方程x2+√下+C=0 当C0时，不能确定隐函数； 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性 及求导方法问题

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题

山东农大 主讲 方本 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(x0,yo)的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(x0,y0)=0; ③Fv(x0,y0)≠0 则方程F(x,y)=0在点(x,y的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件yo=∫(xo),并有连续 导数 dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数 ( , ) 0; F x0 y0 = 则方程 单值连续函数y = f (x) , 并有连续 y x F F x y = − d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0  ② ③ 满足条件 导数

设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)=0 两边对x求导 OF oF dy=0 Ox 8y dx 在(xo,yo)的某邻域内F,≠0 dy dx 网

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 两边对 x 求导 y x F F x y = − d d  0 在 的某邻域内 Fy 则

山东农业大 等数 主讲 苏本堂 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯 一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y孔x),并 求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值， 解设Fx,y)=x2+y2-1,则 Fx=2x,F=2y,F0,1)）=0,F,(0,1)=2≠0 由隐函数存在定理，方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x=O时y=1的隐函数 y=x), dx Fy =0; dy dx2 3, =-1 dx2 x=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 设F(x, y)=x 2+y 2−1, Fx =2x, Fy =2y, F(0, 1)=0, Fy (0, 1)=20. 则 由隐函数存在定理,方程x 2+y 2−1=0在点(0, 1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数 y=f(x). y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  y x F F dx dy y x =− =−  0 0 = x= dx dy  例1 验证方程x 2+y 2−1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯 一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x), 并 求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值. 2 2 3 2 1 y y y xy dx d y = − −  = −  1 0 2 2 =− x= dx d y  2 2 3 2 1 y y y xy dx d y = − −  = −  1 0 2 2 =− x= dx d y  2 2 3 2 1 y y y xy dx d y = − −  = −  1 0 2 2 =− x= dx d y 

例2.已知方程siny+e-xy-1=0在点(0,0)某邻域 确定一个单值可导隐函数y=∫(x),求 dy d2y dxx=0 dx2x=0 解：令F(x,y)=siny+e'-xy-l,则 F=ex-y,Fy=cosy-x ex-y dx F cOS y-x dy x=0= ex-y =-1 cOSy-xx=0,y=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 已知方程 在点(0,0)某邻域 确定一个单值可导隐函数 d 0 d , d 0 d 2 2 = x x = y x x y 解: 令 F(x, y) = sin y + e − xy −1, x F e y, x x = − 则 F y x y = cos − 求 x y d d y x F F = − = − cos y − x e y x − d 0 d x x = y = − cos y − x e y x − x = 0, y = 0

主计 本 d2y d e-y) x=0=dxcosy-x=0,y=0,y'=-1 (e*-y)(cosy-x)-(e*-y)-siny.y'-1) x=0 (cosy-x)2 y=0 y'=-1 =-3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 d 0 d 2 2 x x = y ) cos ( d d y x e y x x − − = − 2 ( cos ) y − x = − = −3 1 0 0  = − = = y y x (e y ) x −  (cos y − x) (e y) x − − (−sin y  y  −1)

定理2.若函数F(x,y,z)满足： ①在点P(o,yo,0)的某邻域内具有连续偏导数 , ②F(x0,y0,20)=0 ③F2(x0,0,20)≠0 则方程F(x,y,z)=0在点(x。,z某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足0=∫(x0,0), 并有连续偏导数 Fx Oz Fy 8x F’ ay 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理2 .若函数 F(x, y,z) z y z x F F y z F F x z = −   = −   , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 F x0 y0 z0 = ( , , ) 0 Fz x0 y0 z0  ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确

本 设z=f(x,y)是方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,y,f(x,y))≡0 两边对x求偏导 Fx+F 02 =0 在(xo,y0,z0)的某邻域内F2≠0 0z F 8x F 0z 同样可得 F oy F

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 F(x, y , f (x, y ) )  0 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z = −   z y F F y z = −   同样可得 则 + Fz x z    0

例3.设x2+y2+z2-4z=0,求 2z 2 解法1利用隐函数求导 2x+2z z Oz 8x 0 8x 8x 2-z 再对x求导 2 2+2( 22+2 E-49 =0 8x ? 1+ 0z2 0x-(2-z)2+x2 ex2 2-2 (2-2)3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 设 4 0, 2 2 2 x + y + z − z = 解法1 利用隐函数求导 2 2 4 = 0   −   + x z x z x z z x x z − =   2 2+ 4 0 2 2 =   − x z 2 1 ( ) x z   + . 2 2 x z   求 再对 x 求导