《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）斯托克斯公式 环流量与旋度

山东农业大 主讲人：本草 第七节斯托克斯公式环流量与旋度 一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度

、斯托克斯公式 前面所介绍的Gauss公式是Green公式的推广 下面我们从另一个角度来推广Green公式。 Green公式表达了平面闭区域上的二重积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，stokes 公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线 上的曲线积分联系起来

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、斯托克斯公式 前面所介绍的 Gauss 公式是 Green 公式的推广 下面我们 从另一个角度来推广Green 公式。 Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的联系， stokes 公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线 上的曲线积分联系起来

山东农业天 本 一、斯托克斯(Stokes)公式 定理1.设光滑曲面Σ的边界「是分段光滑曲线，∑的 侧与下的正向符合右手法则，P,Q,R在包含∑在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数，则有 OP_ dxdy =fPdx+Qdy+Rdz (斯托克斯公式) 右手法则 厂是有向曲面Σ的 正向边界曲线

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线,  = Pd x + Qd y + Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 则有 n    右手法则 是有向曲面 的 正向边界曲线  

为便于记忆，斯托克斯公式还可写作： dydz dzdx dxdy 10 a a a 8x 8y 0z =fPdx+Qdy+Rdz P Q R 或用第 一 类曲面积分表示： cos a cos B cosλ 30 o a ay 0z dS=fPdx+Ody+Rdz ∑ P Q R

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:         P Q R x y z d y d z d z d x d x d y  = Pd x + Qd y + Rd z 或用第一类曲面积分表示: S P Q R x y z d cos cos cos             = Pd x + Qd y + Rd z

本堂 Stokes公式的实质： 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 (当∑是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式

例1.利用斯托克斯公式计算积分nzdx+xdy+ydz 其中Γ为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个 边界，方向如图所示 解：记三角形域为Σ，取上侧，则 f=dx+xdy+ydz dydz dzdx dxdy =f 8x @y X -ffdyd-+d-dx+dxdy-3fp.dxdy-2 3 利用对称性

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 z x y y z z x x y x y  z       = d d d d d d z x y 1 1 1 o 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示.  = d y d z + d z d x + d x d y 利用对称性 = Dx y 3 d x d y 2 3 = Dxy

山东农业大表 主讲 苏本 例2计算曲线积分1=(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)d, 其中T是用2x+2y+2z=3截立方体：0≤x≤1,0≤y1,0<z≤1的 表面所得的截痕，若从x轴的正向看去取逆时针方向. 解取Σ为平面2x+2y+2z=3的上侧被Γ所围成的部分， Σ上侧的单位法向量为 .ny=)(信方方 cosa cos B cosy 1=川 ds y2-x2 z2-x2x2-y2 看++s-香2as=-25八6dd=号

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ) 3 1 , 3 1 , 3 1 (cos,cos,cos ) =(  dS y x z x x y x y z I   − − −       = 2 2 2 2 2 2 cos cos cos     = − x+ y+ z dS = − dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 = −2 3 3 = −  Dx y dxdy  解 取为平面2x+2y+2z=3的上侧被所围成的部分 上侧的单位法向量为 例 2 计算曲线积分 I (y z )d x (z x )d y (x y )d z 2 2 2 2 2 2 = − + − + −    其中是用2x+2y+2z=3截立方体 0x1 0y1 0z1的 表面所得的截痕 若从x轴的正向看去取逆时针方向     = − x+ y+ z dS = − dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 = −2 3 3 = −  Dx y dxdy      = − x+ y+ z dS = − dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 = −2 3 3 = −  Dx y dxdy      = − x+ y+ z dS = − dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 = −2 3 3 = −  Dxy dxdy 

例3.下为柱面x2+y2=2y与平面y=z的交线，从z 轴正向看为顺时针，计算1=手y2dx+ydy+zdz. 解：设∑为平面z=y上被工所围椭圆域，且取下侧！ 则其法线方向余弦 cosa-0 cos-cos- 2 利用斯托克斯公式得 cosa cos阝cosY 1= ay ds-ds-0 xv XZ

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3.  为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 o z 2  y x 解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 I d S   = = 0 则其法线方向余弦 cos cos  cos  x y  z      y xy xz 2 

练习计算∫U-z)k+(红-x)+(x-) 其中r为椭圆+少=公，名 从X轴正向看去，椭圆取逆时针方向 解一用Stokes 公式 dydz dzdx dxdy a+购+欧=月 a P 2 R -J(-1-1)dyd:+(-1-1)dzdx+(-1-1)dxdy =-2 dydz dadx dxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 练习 计算  − + − + −  ( y z)dx (z x)dy ( x y)dz , 1 2 2 2 + = + = b z a x 其 中 为椭圆 x y a 从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向 解一 用 Stokes 公式  + +  Pdx Qdy Rdz        =  P Q R x y z dydz dzdx dxdy x y z o  = − − + − − + − −  ( 1 1)dydz ( 1 1)dzdx ( 1 1)dxdy  = − + +  2 dydz dzdx dxdy

J0y-z)c+(亿-x)+(x-y证 =-2j∬ddk+dkdk+dc 卫与z0坐标面垂直 J∬dkdk=0 ∑在y0z面的投影为一椭圆 x2+y2=a2 消去x得 (-b)2,y2 二1 a b J∬d=J∬dk=ub D Σ在o面的接影：+少=0，∬=∬=m D JPdx+Qdy+Rdz=-2ma(a+b)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  − + − + −  ( y z)dx (z x)dy ( x y)dz  = − + +  2 dydz dzdx dxdy x y z o  与 zox 坐标面垂直  =  dzdx 0  在 yoz 面的投影为一椭圆     + = + = 1 2 2 2 b z a x x y a 消去 x 得 1 ( ) 2 2 2 2 + = − a y b z b   = =   Dyz dydz dydz ab 2 2 2  + = 在 xoy x y a 面的投影： ,   = =   Dxy dxdy dxdy a 2  + + = − +  Pdx Qdy Rdz 2a(a b)