《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）幂级数的应用

山东农业大 主讲 方本堂 第五节幂级数的应用 一、近似计算 二、欧拉公式

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五节 幂级数的应用 一、近似计算 二、欧拉公式

一、近似计算 例1.计算240的近似值，精确到104 解：240=243-3=3(1-)5 -5 1491,149141 5436+ 324031-53)s3-00741s2926

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) ( −1  x  1) 例1. 计算 5 240 10 . −4     r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4    3 12 3 1 5 3! 1 4 9     +  +     + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14    81 8 1 1 1 3 1 25 6 − =   ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5   −   3 − 0.00741  2.9926 的近似值, 精确到    +      + +         2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10−   3 1   = 4 3 1 5 1 −  2 8 3 1 5 2! 1 4    −  −    − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243− 3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −   

山东农业大 主讲》 方本堂 例2.计算ln2的近似值，使准确到10-4 解：已知 Io(+)=2 十 (-1<x≤1) 4 ,3 .ln(1-x)=-x- . (-1≤x<1) 234 故 n1+x=In(+x)-In(1-x) In 1- -2(x+++.）1x<1 1+x=2得x=3于是有 1 1-x ln2=2 3+1小 33+535+737+

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4  − = − − − − − −  x  x x x x x  例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得       = +  3 +  5 +  7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有

在上述展开式中取前四项， 。-g+3如】 均 <0.2×10-4 78732 m22g+5写+号9 *0.6931

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 4 9 3 1 9 1 2     r =        11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − =          +  +  +  3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2  0.6931 11 3 1 11 1 +     +  13 + 3 1 13 1 9 4 3 1  = 4 0.2 10 78732 1 − =   在上述展开式中取前四项

山东农业大 等数 本堂 说明：在展开式 1n =2(x+5x+x+.) 1+x 1-x 中，令x= 1,（n为自然数)，得 2n+1 al-213n+63+ n m+-lm+22产3+52+ 具此递推公式可求出任意正整数的对数.如 In5 =2In2+ 2g5g+5+. ≈1.6094

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 ln n n n n n 得 ln(n +1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如       = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 ln5 2ln 2 2 1.6094 ( n为自然数) ,       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ln 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x

例3.利用sinx≈x- 3引，求si血9°的近似值，并估计 误差， 解：先把角度化为弧度9°=180 9= π (弧度) 20 m00说+5】 <20025<10- ∴.sin 005分=015w80-00w646 ≈0.15643 误差不超过10-5

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  = − 3 + 5 − ) 7 + 2 0 ( 7! 1 ) 2 0 ( 5! 1 ) 2 0 ( 3! 1 2 0 2 0 sin      例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  5 10 3 1 −   3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − +  0.157080 − 0.000646 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计  0.15643

山东农业大 导效 主进 方本堂 例4，计算积分左心edr 的近似值，精确到104 (取2≈0.56419) 解：e=1+-r2)+2)223 21 31 00 (-00<x<十0) n=0 00 n=0 Nπ n=0 Vπm0n!(2n+1) 22+1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( 取 例4. 计算积分 的近似值, 精确到 0.56419) 1   解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n   = = − (−  x  +) e x x d 2 2 2 1 0 −   dx 2 2 1 0      =  ! ( 1) 2 0 n x n n n   = −   = − = 0 ! 2 ( 1) n n  n x x n d 2 0 2 1  1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x   =  − = 0 ! 2 ( 1) n n  n 2 1 2 1 n+ (2n +1)

e-xdx=. 欲使截断误差104>n≥4 取n=4,则所求积分近似值为 ed女（1-t, Vπ 22.324.52126.7.3到 ≈0.5205

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6   −   +   −   e −x d x = 2 2 1 0 2          +   −   +  = −  2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6  n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 +    4 10−  2 4  !(2 +1) 2 10 n 则 n 应满足  n n e x x d 2 2 1 2 0  −  则所求积分近似值为 欲使截断误差  0.5205

山东农业大 主计 苏本 例5.计算积分 Isinx dr的近似值，精确到104. 解：由于lim sinx =1,故所给积分不是广义积分 x-→0x 若定义被积函数在x=0处的值为1，则它在积分区间 上连续，且有幂级数展开式： sinx 2n X 3!57I +.+(-1)” (2n+1)川 lsinx 1 .1 dx=1- (-1) 3.3！5.51 (2n+1)(2n+1)为 < 7.71-35280 <0.3×104 ≈1-0.05556+0.00167≈0.9461

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间  + + = − + − + + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 n x x x x x x n n x x x d 1sin 0  =1 −  + 5 5! 1  + +  + − + (2 1) (2 1)! ( 1) n n n r3  1− 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 :  0.9461

二、欧拉(Euler)公式 对复数项级数 ∑(un+iyn) n=1 00 00 若∑4n=,∑n=y,则称①收敛，且其和为u+iy. n=l n=1 若∑4n+iyn=∑√+房收敛，则称①绝对收敛。 n=1 n=l 由于4≤V42+w2,ya≤Vn2+yn,故知 2 0 00 ∑(4n+in)绝对收敛→∑4n,∑n绝对收敛 n=] n=l n=l ∑(n+iyn)收敛 n=l

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、欧拉(Euler)公式 则称 ① 收敛 , 且其和为 ( ) 1 n n n  u + i v  = 绝对收敛 , 1   n= un ( ) 1 n n n  u + i v  = 收敛 . , 1 u u n  n =  = , 1 v v n  n =  = 若 n n n  u + i v  =1 u + i v. 2 2 1 n n n =  u +v  = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u  u + v 2 2 n n n v  u + v ①   n=1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知