《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）第九章 习题课

主讲 苏本堂 第九章习题课 主要内容 典型例题

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第九章 习题课 主要内容 典型例题

一、主要内容 平面点集 多元函数概念 和区域 多元函数 极限运算 的极限 乡元连续数 多元函数 的性质 连续的概念

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念 一、主要内容

主讲 苏本堂 全微分 方向导数 全微分 的应用 概念 复合函数 高阶偏导数 求导法则 偏导数 全微分形式 概念 隐函数 的不变性 求导法则 微分法在 多元趣数的极值 几何上的应用

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 全微分 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 微分法在 几何上的应用 方向导数 多元函数的极值 全微分 概念 偏导数 概念

多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导 函数可微 偏导数连续

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导

等数学 内容小结 1.区域 ·邻域：U(Po,δ)，U(P,δ) ·区域 连通的开集 。R”空间 2.多元函数概念 n元函数u=f(P)=f(x1,x2,.,xn) P∈DcRm 二元函数（图形一般为空间曲面） 常用 三元函数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 内容小结 1. 区域 • 邻域 : ( ,δ ), U P0 ( ,δ ) U P0  • 区域 连通的开集 • R n空间 2. 多元函数概念 n 元函数 ( , , , ) 1 2 n = f x x  x 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 PD u = f (P) n  R

3.多元函数的极限 limf(P)=A=Vε>0,38>0，当0I

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f P A P P = → lim ( ) 0 ε  0,δ  0,当0  PP0 δ 时， 有 f (P) − A ε 3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性 1) 函数 f (P)在P0 连续 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续

主讲人：苏本堂 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似， 例1求lim sin(xy) (x,y)→(0,2 )x 解 lim sin(xy) lim sin(x).y (xy)→(0,2)X (xy)>(0,2)xy lim sin(xy) limy=1×2=2, (xy)→(0,2)xy (xy)→(0,2)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似. 解 例 例 5 1 求 x x y x y sin( ) lim ( , )→(0,2)  y xy xy x xy x y x y =  → → sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) lim 1 2 2 sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) =  =  = → → y x y x y x y x y  y x y x y x x y x y x y =  → → sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) lim 1 2 2 sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) =  =  = → → y xy xy x y x y 

注 (1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P时，函数 都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P时，函数趋于不同 的值，则函数的极限不存在 2讨论画数x妙” Xy 在点(0,0)的极限 解：设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)，则有 x2 列-平+k2 x→0 y=kx 1+k2 k值不同极限不同！ 故f(x,y)在(0,0)点极限不存在

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数 都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同 的值, 则函数的极限不存在. 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 2 2 ( , ) x y xy f x y + = 2 2 2 2 0 0 lim ( , ) lim x k x kx f x y x y kx x + = → = → 在点 (0, 0) 的极限. 故 f (x, y) 则有 2 1 k k + = k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 例2. 讨论函数

●二重极限limf(x,y)与累次极限lim limf(x,y) x→x0 x→x0y→y0 y→y0 及lim lim f(x,y)不同. y→y0x→x0 如果它们都存在，则三者相等 仅知其中一个存在，推不出其它二者存在 y2,显然 x 列如，fx,)三2士6 lim lim f(x,y)=0,lim lim f(x,y)=0 x→0y→0 1y→0x→0 但由例2知它在(0,0)点二重极限不存在

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. • 二重极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如, 显然 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y 与累次极限 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→ y→ = 0, 但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在

例3.求lim xy+1-1 x→0 xV y→0 解：原式=lim xy+1)2-1 1 、 lim x0xv(xy+1+1) x0/xy+1+12 y→0 y→0 例4.求函数fx,)=arcsin(3-x2-y) 的连续域 解：3-2-y2s1 Vx-y2 x-y2>0 f2≤r2+2s4 (x>y2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 . 1 1 lim 0 0 xy xy y x + − → → 解: 原式 2 1 = 例3.求 2 2 2 arcsin(3 ) ( , ) x y x y f x y − − − = 3 1 2 2 − x − y  2 4 2 2  x + y  例4. 求函数 的连续域. 解: 0 2 x − y  2 x  y 1 1 1 lim 0 0 + + = → → xy y x o 2 y 2 x