《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）空间曲线及其方程

山东 办本堂 §8.6空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面的投影

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面的投影 §8.6 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 例如，方程组 G(x,y,z)=0 Fx,y,)=0 [x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L F(x, y,z) = 0 G(x, y,z) = 0 S1 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2

山东农业大 等数学 又如，方程组 ∫2=a2-x2-y2 1x2+y2-ax=0 表示上半球面与圆柱面的交线C 0 X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. y x z a

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y表示成参数t的函数： x=x(t) y=y(t) 称它为空间曲线的 参数方程 2=z(t) 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 x=acosot y=asinot 令0=0t,b=y x=acos0 z=vt y=asing z=b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 z x y o 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线    v 令 = t , b = h = 2 b 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 .  M

方本雪 例1.将下列曲线化为参数方程表示： 1) x2+y2=1 z=Va2-x2-y2 2x+3z=6 20 解：(1根据第一方程引入参数，得所求为 x=coSt y=sint (0≤t≤2π) z=3(6-2c0st) (2) 将第二方程变形为x-)2+y2=,故所求为 x=号+号cost y=3sint (0≤t≤2π) z=a2-zcost

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去z得投影柱面H(x,y)=0, 则C在xoy面上的投影曲线C'为 H(x,y)=0 z=0 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 R(y,z)=0 x=0 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 T(x,z)=0 y=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程    = = 0 ( , ) 0 z H x y    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z z y x C C

山东农业大 主讲》 例如， x2+y2+z2=1 在xoy面上的投影曲线方程为 ∫x2+2y2-2y=0 2=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 z y x C 1 o 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为    = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y    + − + − = + + = ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C

求曲面z=V2-x2-y2及z=x2+y2的交线L在x0y平面的投影。 解由 可 得交线L: x2+y2=1 z=1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 求曲面z = 2 − x 2 − y 2 及 z = x 2 + y 2 的交线L在 xoy 平面的投影。     = + = − − 2 2 2 2 2 z x y z x y 1 .    = + = 1 1 2 2 z x y 解 y x z o 得交线L： 由

山东农业大 主进 :苏本堂 求曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2的交线L在x0y平面的投影。 解由 z=V2-x2-y2 投影柱面 =x2+y2 x2+y2=1 得交线L: 所求投影曲线为 x2+y2=1 x2+y2=1 z=1 7=0 =0 合

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 z =0 . 2 1    = + = 1 1 2 2 z x y y x z o 解 1 2 2 x + y = L 所求投影曲线为 1 2 2 x + y =    = + = 0 1 2 2 z x y . . 得交线L： . 投影柱面     = + = − − 2 2 2 2 2 z x y 由 z x y 求曲面z = 2 − x 2 − y 2 及 z = x 2 + y 2 的交线L在 xoy 平面的投影

内容小结 。空间曲线 一三元方程组 或参数方程（如，圆柱螺线） ·求投影曲线 思考与练习 P37题1,2,7（展示空间图形）

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 内容小结 • 空间曲线 三元方程组 或参数方程 • 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 思考与练习 P37 题 1，2，7（展示空间图形）