《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）5.4曲线方程

第四节 曲面和曲线 曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 HIGH EDUCATION PRESS 结束

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面和曲线 曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 i F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 G(x,y,Z) (cy,2=0 例如，方程组 ix2+y2=1 2x+3z=6 7 表示圆柱面与平面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如，方程组 iz=va2-x2-y x2+y2.=0 表示上半球面与圆柱面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 机动

又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y,表示成参数1的函数： x=x(t) y=y(t) z=z() 称它为空间曲线的参数方程： HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的参数方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1空间一动点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度w绕z 轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升（其中w、 v都是常数)，试建立动点轨迹的参数方程 解取时间t为参数 设当1=0时，动点位于x轴上的一点 A(a,0,O)处.经过时间1，动点由A运动 到M(x,y,).因为 x=acosWt,y=asinWt,z=vt, 所以动点轨迹的参数方程为 x=acoswt iy=asinwt. 圆柱螺旋线 第z=% HIGH EDUCATION PRESS

例1 空间一动点M在圆柱面x 2+y 2=a 2上以角速度w绕z 轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、 v都是常数), 试建立动点轨迹的参数方程. 设当t=0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0,￾0)处. 经过时间t,￾￾动点由A运动 到M(x,￾y,￾z).￾ 所以动点轨迹的参数方程为 x=acoswt,￾y=asinwt,￾ 解￾￾ 取时间t为参数.￾￾ z=vt,￾ 因为 ——圆柱螺旋线

圆柱螺旋线 的参数方程为 x=acosw t y=asinw t 令9=w1,b=V Z=vt y asing z=bq 当q=2p时，上升高度h=2pb,称为螺距 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.将下列曲线化为参数方程表示 x2+y2=1 2x+3z=6 解：(1)根据第一方程引入参数，得所求为 x=coSt y=sint (0E1E2p) z=3(6-2c0st) (2)将第二方程变形为(c-2+y2=, 故所求为 x=号+号c0s1 y=号sint (0￡1￡2印) 2=aV2- cost HIGH EDUCATION PRESS 机动 结球

例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 V投影柱面与投影（曲线） 投影柱面 以空间曲线C为准线、母线平行 于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的 投影柱面 投影柱面与xOy面的交线叫做曲 线C在xOy面上的投影曲线，或简称投 投影曲线 影 类似地可以定义曲线C在其它坐 标面上的投影 HIGH EDUCATION PRESS

投影柱面与xOy面的交线叫做曲 线C在xOy面上的投影曲线, 或简称投 影.￾ 类似地可以定义曲线C在其它坐 标面上的投影. v投影柱面与投影(曲线) 以空间曲线C为准线、母线平行 于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的 投影柱面. 投影柱面 投影曲线 三、空间曲线在坐标面上的投影

投影（曲线）的确定 设空间曲线C的一般方程为 1F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去：得投影柱面H(x,y)=O, 则C在xoy面上的投影曲线C'为 iH(x,y)=0 z=0 消去x得C在oz面上的投影曲线方程 iR(y,z)=0 x=0 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 iT(x,z)=0 y=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 结

投影(曲线)的确定 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3求曲线 1x2+y2+z2=1 C: 在各个坐标面上的投影曲线方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上贡 结

例3 求曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在各个坐标 面上的投影曲线方程