《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章_D9_6几何中的应用

第之节 第九章 多无面数微分学的儿何应用 一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

第六节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 一、一元向量值函数及其导数

一、一元向量值函数及其导数 (一)向量值函数的概念 (二)向量值函数的极限和连续 (三)向量值函数的导数

一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数

>引入 空间曲线厂的参数方程 (x=o(t), y=y(t),t∈Ia,B] (z=o(t), 7=xi+可+z求ft)=p(t)i+y(t)+o(t)正 三f(t)—映射f:Ia,B]→→R3 元向量值函数

➢引入 空间曲线 Γ 的参数方程 x = (t), y = (t), z = (t), t [ ,  ] r = xi + yj + zk f (t) =  (t)i + (t) j + (t)k r = f (t) 映射 3 f :[,  ] → R 一元向量值函数

>定义 设数集DcR,则称映射：D→R"为一元向量值函数， 通常记为： 定义域 T=f(t),te D 因变量 自变量 ●注 (1)一元向量值函数是一元函数的推广 自变量 因变量 一元函数 实数值 实数值 一元向量值函数 实数值 n维向量 (2)这里只研究=3的情形

➢定义 设数集 D  R, 则称映射 n f : D → R 为一元向量值函数， 通常记为： 因变量 自变量 定义域 r = f (t),t  D ⚫注 (1) 一元向量值函数是一元函数的推广 一元函数 一元向量值函数 自变量 因变量 实数值 实数值 实数值 n维向量 (2) 这里只研究n=3的情形

>表示法 F(t)=f(t)i+(t)J+f(t)E,te D 或f0=(f(),f0),f3(),t∈D >图形 设广=OM,当t改变时，终点M的轨迹 (记作曲线T)称为向量值函数 7=fd),teD的终端曲线， 曲线也称为向量值函数7=ft),t∈D的图形

➢表示法 f (t) = f1 (t)i + f 2 (t) j + f 3 (t)k, t  D 或 f (t) = ( f1 (t) , f 2 (t) , f 3 (t)),t  D ➢图形 x y z O M r 设 r = OM , 当t 改变时,终点M的轨迹 (记作曲线 Γ) 称为向量值函数 r = f (t),t  D 的终端曲线， 曲线 Γ 也称为向量值函数 r = f (t),t  D 的图形 Γ

>定义设向量值函数ft)在点，的谋一去心邻域内有定义，如果 存在一个常向量，对于任意给定的正数8，总存在正数δ， 使得当1满足0<t-t,Kδ时，对应的函数值f(t)都满足： 1t)-方K8,那么，常向量方就叫做向量值函数ft)当 t→t,时的极限，记作 lim(t)=, t-tn ●注 R70=(Rf,gR0} f(t)=(f(t),f(t),f(t)),tE D

➢定义设向量值函数 f (t) 在点 0 t 的某一去心邻域内有定义, 如果 存在一个常向量 , 0 r 对于任意给定的正数  , 总存在正数  , 使得当t 满足 0 | − |  0 t t 时,对应的函数值 f (t) 都满足: | ( ) | , 0 f t − r   那么,常向量 0 r 就叫做向量值函数 f (t) 当 0 t → t 时的极限，记作 lim ( ) , 0 0 f t r t t = → ⚫注       = → → → → lim ( ) lim ( ) ,lim ( ) ,lim ( ) 1 2 3 0 0 0 0 f t f t f t f t t t t t t t t t f (t) = ( f1 (t) , f 2 (t) , f 3 (t)),t  D

>定义 设向量值函数ft)在点t,的某一邻域内有定义，若 lim f(t)=f(t) t→t0 则称向量值函数ft)在t,连续 ●注向量值函数f(t)在t,连续的充要条件： ft)的三个分量函数f1(t),f2(),f(t)都在t,连续 f(t)=((t),f(t),f;(t)),t=D

➢定义 ⚫注 向量值函数 f (t) 在 0 t 连续的充要条件: 设向量值函数 f (t) 在点 0 t 的某一邻域内有定义, 若 lim ( ) ( ) 0 0 f t f t t t = → 则称向量值函数 f (t) 在 0 t 连续. f (t) 的三个分量函数 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 f t f t f t 都在 0 t 连续. f (t) = ( f1 (t) , f 2 (t) , f 3 (t)),t  D

>定义 设向量值函数ft)在点t的某一邻域内有定义，如果 ,+△)-f) △1-→0△t △t 存在，那么就称这个极限向量为向量值函数广=(t) 在处的导数或导向量，记作了（化，或 dr ●注)=f)i+f)+f). f(t)=(f(t),f,(t),f;(t)),t=D

➢定义 | . d d 0 t t t r = 设向量值函数 f (t) 在点 0 t 的某一邻域内有定义, 如果 t f t t f t t r t t  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在,那么就称这个极限向量为向量值函数 r = f (t) 在 0 t 处的导数或导向量,记作 ( ) 0 f  t 或 ⚫注 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 2 3 f  t = f  t i + f  t j + f  t k f (t) = ( f1 (t) , f 2 (t) , f 3 (t)),t  D

>几何意义 设f(,)≠0，向量值函数r=ft),teD的终端曲线 为空间曲线T,0M=,),ON=ft,+△) 向量 指向 △7 割向量 △t>0→与t的增长方向一致 △ △t<0一→与t的增长方向相反 割向量 与t的增长方向一致 △r △7 lim 切向量 与t的增长方向一致 △1-→0△t f():向量值函数7=f),t∈D的终端曲线 厂在点M处的一个切向量，其指向与t的增长方向一致

➢几何意义 x y z O r 割向量 t  0 向量 向量值函数 r = f (t),t  D 的终端曲线 为空间曲线 Γ, 割向量 切向量 与t 的增长方向一致 t  0 与t 的增长方向相反 与t 的增长方向一致 与t 的增长方向一致 向量值函数 r = f (t),t  D 的终端曲线 Γ 在点M处的一个切向量,其指向与t 的增长方向一致. M N r t r   t r t    →0 lim( ): 0 f  t ( ), 0 OM = f t ( ) 0 ON = f t + t 指向 ( ) 0, 设 f  t 0 

二、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面 点击图中任意点动画开始或暂停 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.  T M  空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停