《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章_D9_3全微分

第三为 第九章 全微分 元函数y=f(x)的微分 Ay=A△x+O(△x) dy=f'(x)△x 应用 近似计算 估计误差 本节内容： 全微分的定义 二、全微分在数值计算中的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第九章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分

一、全微分的定义 定义：如果函数z=∫(x,y在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-∫(x,y)可表示成 △=A△x+B△y+o(P),p=(△x)2+(△) 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△ 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. Ax + By

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 由微分定义： =A△x+B△y+O(P), lim△2=lim[(A△x+B△y)+o(p]=0 △x→0 0→0 △y→0 得limf(x+△x,y+Ay)=1im(f(x,y)+△z)=f(x,y) △x→0 △x→0 Ay->0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点（化，y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： ()函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续二 函数可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

(2) 偏导数连续lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即  z = Ax + B y + o( ) , lim( ( , ) ) 0 0 f x y z y x = +   →  →

定理1（必要条件）若函数z=f(化，y)在点x,y)可微， 则该函数在该点偏导数 二2必存在，且有 Ox'Oy dz= 0-Ax+ 8 y 证：由全增量公式△z=A△x+BAy+o(P),令△y=0, 得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x Oz lim △x2=A △x→0△X 0z 同样可证 0y =B,因此有dz 0x*0y 02 Ly Ox HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：定理1的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微！ x2+y2≠0 反例：函数f(x,)= 0 x2+y2=0 易知f,(0,0)=f,(0,0)=0,但函数在点(0,0)不可微 △x△y △z-【f(0,0)△x+f(0,0)△ .V(△x)2+(△y)2 p p △x△y 0 (△x)2+(△y)2 △z-[fx(0,0)△x+f,(0,0)△y≠o(p） 因此，函数在点(0,0)不可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y  因此,函数在点 (0,0) 不可微 .  o( ) 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在点 (0,0) 不可微 = z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y 

定理2（充分条件）若函数：=f(x,y)的偏导数，三 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 (证明略) •重要关系： 函数连续 函数偏导数 存在 函数可微 偏导数连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2 (充分条件) y z x z     若函数 的偏导数 , 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （证明略） • 重要关系: 函数偏导数 存在 函数可微 偏导数连续 函数连续

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,z)的全微分为 Ou du= Av+ Ox Oy 0z 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du dz dx干dy+o2 du= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 +   x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = z z u d   + 的全微分为  +   y y u z z u    于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分 解： =xexy Ox 0y =e2, 0z 2,1) a(2,10 2e2 dz =e2dx+2e2dy=e2(dx+2dy) (2,1D 例2.计算函数u=x+sin。+e'z的全微分 解：du=1dx+(cos5+zey)dy+yedz HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: =   x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z =   =   例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + =   y z , xy ye xy xe y z z e 机动 目录 上页 下页 返回 结束

·二、全微分在数值计算中的应用 1.近似计算 由全微分定义 Az=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay+o(p) dz 可知当△x及△y较小时，有近似等式 △2≈dz=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay (可用于近似计算，误差分析) f(x+Ax,y+Ay)f(x,y)+f(x,y)Ax+fy(x,y)Ay (可用于近似计算) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 z f (x, y) x f (x, y) y o()  = x  + y  + f (x + x, y + y) f x y x f x y y x ( , ) + y ( , ) 较小时, z z f x y x f x y y   d = x ( , ) + y ( , ) d z 及 有近似等式:  f (x, y) + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)

内容小结 1.微分定义：(z=f(x,y)) △z=fx(x,y)Ax+f(x,y)△y+o(p) p=V(△x)2+(△y) d=fx(x,y)dx+f(x,y)dy 2.重要关系 函数连续 函数偏导数 存在 函数可微 偏导数连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

内容小结 1. 微分定义: z = d z = f x y x f x y y x y ( , )d + ( , )d 2 2  = (x) + (y) 2. 重要关系: + o() 函数偏导数 存在 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束