《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_6高斯公式

第之节 第十一章 高斯公式 通量与漱度 推广 Green公式 Gauss公式 一、高斯公式 *二、 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十一章

高斯(Gauss)公式 定理1.设空间闭区域2由分片光滑的闭曲 面Σ所围成，Σ的方向取外侧，函数P,Q,R在 Ω上有连续的一阶偏导数，则有 瓜a ++R Ox 8y'0z dxdydz -fPdyd=+Qd=dx+Rdxdy (Gauss公式 下面先证 dda:=队.Rddy HIGH EDUCATION PRESS 高斯目录上页下页返回结束

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 ,  = Pd y d z + Qd z d x + Rdxd y x y z z R d d d     = Rd xd y 下面先证: 面 所围成,  的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明：设2：1(x,y)≤(x,y)≤2(x,y),(x,y)∈D 为XY型区域，∑=∑1U∑2U∑3，∑1：2=(x,y), ∑2：2=2(x,y),则 Z r2ddd-ngdv7a =j2{Rx,y2c, 22) -R(x,y,=(x,y))dxdy 月Rdxdy=(L,+儿+s)Rdxdy =j2Rx,yzxytdy-jDRx,y,ydxd HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

2 3 1  z y x Dxy R(x, y, ) − R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1  z = z x y 证明: 设 ,  = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1     = Dxy ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  Rd xd y  = Dxy (  = 2 x y z z R d d d    d xd y  + 1  + 3 )Rd xd y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dxdy  − Dxy  = Dxy ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

所以 8ddvd: Rdxdy 若Ω不是XY-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个XY一型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 84d4-le对，8 m24adyd:=俱0-d: 三式相勖加，即得所证Gauss公式： )dxd ydz -fPdyd=+Qdzdx+Rdxdy HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

所以 x y z z R d d d     = Rd xd y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用Gauss公式计算 (x-y)dxdy+(v-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平面：=0，z=3所围空间 闭域Ω的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-J 利用Gauss公式，得 原式=Jj2-)dxdyd:(用柱坐标 = (rsin0-=)rdrdod= =gd0 din0-a)正= 9元 2 思考：若Σ改为内侧，结果有何变化？ 若Σ为圆柱侧面取外侧，如何计算？ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 =  ( y − z)d xd y d z  = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0    =   −  2 9 = − x 3 o z 1 y P = (y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.利用Gauss公式计算积分 1=(2cosa+y2 cosB+22cosy)dS 其中∑为锥面x2+y2=2介于：=0及 z=h之间部分的下侧 解：作辅助面∑1：z=h,(x,)eDy:x2+y2≤2，取上侧 记Σ，Σ所围区域为2，则 在1上a=B=及，y=0 I- 2+32cosa+)y广cosB+cos7)dS (2cosa+ycos+2cosy)dS =2+y+)dxdyd=-p dxdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 2 2 2 x + y = z  h o z y x 解: 作辅助面 : , 1 z = h ( , ) : , 2 2 2 x y D x y h  xy +  取上侧 + = 1 I (  − 1 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2  +  +  , 0 1 2   =  =  = 在 上  介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记, 1 h 所围区域为, 则  = 2 (x + y + z)d xd y d z h x y Dx y d d 2  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2  +  + 

I=2。+y+dt-n产ddy 利用对称性 ∬。xdxdd=0 川ydxd=0 =2∬odxdyd-πh =22元2d-πh -27h HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 I = 2 (x + y + z)d xdydz  = 2 z d xd ydz 4 − h h x y Dx y d d 2  − 4 2 1 = −  h  = h z 0 2 2  z dz 4 − h  h o z y x 1 h 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性 d d d = 0  x x y z d d d = 0  y x y z

例3.设2为曲面：=2-x2-y2,1≤：<2取上侧，求 1=[(x3z+x)dyd=-x2yzdzdx-x222dxdy. 解：作取下侧的辅助面 1:2=1(x,y)eDyx2+y2≤1 1=-∬ 用柱坐标 用极坐标 ∑+Σ =dxdd-(-1)∬n-x)dxdy =jaa「ardz-aos2 oder 13π 12 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

例3. ( )d d d d d d . 3 2 2 2  I = x z + x y z − x yz z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y  z  取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 1 : z =1 ( , ) : 1 2 2 x y  Dxy x + y  I =   +  − 1 1  = d xd ydz ( x )d xd y 2 − Dxy − (−1)  =   2 0 d  1 0 d r  −    2 0 2 cos d 12 13 = 1 z o x y 2 1  用柱坐标 用极坐标 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域2上具有一阶和 二阶连续偏导数，证明格林(Green)第一公式 P=u dxdyd= Q=u =” Ov O cosy ds 小小 cosa 8x R=u 川. )dxd ydz 0y Oy 0z 0z 其中Σ是整个Ω边界面的外侧 分析：高斯公式 )dxd ydz -fPdydz+Qdzdx+Rdxdy HIGH EDUCATION PRESS Oe0C8 机动目录上页下页返回结束

        +   +   cos cos  cos z v y v x v 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 d S 例4. 设函数  u d xd y d z  = u (  − )d xd y d z x u   y u   + y v   z u   + z v   其中  是整个  边界面的外侧. P = u x v   Q = u y v   R = u z v   分析: ( ) x y z z R y Q x P d d d    +   +    = Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y x v   高斯公式           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ov 证：令P=w x0=x Ov dv R=u 由高斯公式得 av cosa cosy ds = OR x )dxd ydz Ou Oy.Ou bv.Ouov OxOx 0y0y ，oza2 dxdydz 移项即得所证公式.（见P232) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

证: 令 P = u , x v   Q = u , y v   R = u , z v   由高斯公式得           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v         +   +   cos cos  cos z v y v x v  u d S 移项即得所证公式.(见 P232) y v   z v   x v   机动 目录 上页 下页 返回 结束