《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章_D12_3幂级数

第三节 第十二章 幂级数 函数项级数的概念 二、 幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章

函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,.)为定义在区间I上的函数，称 ∑4n(x)=4(x)+42(x)+.+4n(x)+. n=l 为定义在区间I上的（函数项）无穷级数 常数项级数 对∈I,∑4，()=4，()+4()++4，()+. n三 若级数∑4n(xo)收敛，称x为其收敛点 n=l 收敛点的全体称为其收敛域 若常数项级数∑4n(xo)发散，称x为其发散点 n=1 发散点的全体称为其发散域 HIGH EDUCATION PRESS

一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数 . 对 若级数 收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 0 称 x 为其收敛点, 0 称x 为其发散点, u (x) (n =1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域 . 0 1 ( ) n n u x  =  1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n = + + + + u x u x u x 常数项级数

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 定义域是收敛域 S0)=4,)=4)+4,()++u.()+. n=l 若用S,(x)表示函数项级数前n项的和，即 S)=∑4(e k=1 如何在收敛域上求其 余项为：n(x)=S(x)-Sn(x) 和函数？ 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x) lim(x)=0 n-→o0 HIGH EDUCATION PRESS

为级数的和函数 , 并写成 若用 余项为： 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 1 2 ( ) ( ) ( ) n = + + + + u x u x u x 定义域是? 如何在收敛域上求其 和函数？ 收敛域

二、幂级数及其收敛性 般式 形如 ∑an(x=x)”=a+4(x-x0)+a2(x-xo)}十 n=0 .+an(x-xo)”+. 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,1,)称 为幂级数的系数 当x,=0,上述级数变为： 标准式 a”=a0+ax+ax2++an”+ n=0 对于幂级数有两个问题：（1)如何确定它的收敛域： (2)在收敛域内，如何求它的和函数sx): HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 当 为幂级数的系数 . ，上述级数变为： 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于幂级数有两个问题: （1）如何确定它的收敛域； （2）在收敛域内，如何求它的和函数 s(x). 一般式 标准式

例如：幂级数∑x”-1+x+x2++x”+. n=0 公比为的等比级数(1)当x<1时，级数收敛 (2)当|x≥1时，级数发散， 收敛域是 (-1,1), 发散域是 (-0,-1]及[1，+o) 当x∈(-1,1)时，有和函数： 1+x+x2++x+.=∑=1 此幂级数的收敛域是一个以原点为中心的对称区间。 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例如：幂级数 收敛域是 发散域是 (− , −1]及[1，+ ）, 有和函数： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 公比为x的等比级数（1）当 | x | < 1 时， 级数收敛， （2）当 | x |  1 时， 级数发散， 2 1 n + + + + + x x x 此幂级数的收敛域是一个以原点为中心的对称区间

0 定理1.(Abel定理)若幂级数 ∑anx n=0 在x=0点收敛，则对满足不等式xxo的一切x,该幂级数也发散 收敛发散 】 发散 绝对收敛 发 散x HIGH EDUCATION PRESS 阿贝尔目录上页下页返回结束

发 散 绝对收敛 o 发 散 x 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数   n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.（Abel定理)若幂级数 ∑anx” n=0 在x=o点收敛，则对满足不等式xxo的一切x,该幂级数也发散 证：设∑anx收敛，则必有1 im anx6=0,于是存在 n=0 n-→00 常数M>0,使 anx6≤M(n=l,2,.) anx”1=a6 X ≤M xo HIGH EDUCATION PRESS 阿贝尔目录上页下页返回结束

定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 

x-ao.s 当公比1即x,且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾 故假设不真.证毕 收敛 发散 绝对收敛 发散发散x HIGH EDUCATION PRESS

当公比 即 x  x0 时, 收敛 , 也收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 反之,可用反证法证. 0 若当 x = x 时该幂级数发散 , 假设有一点 1 x 1 0 x  x 0 x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 =  证毕 1 0  x x 发 散 绝对收敛 o 发散 发 散 x 1 x0 x 收敛

●文● 定理1.(Abe定理)若幂级数 ∑anx” n=0 在x=0点收敛，则对满足不等式xxo的一切x,该幂级数也发散 00 Abel 定理得∑anx” 的收敛区间是以原点为中心的区间 n=0 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间 HIGH EDUCATION PRESS

定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数   n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 Abel 定理得：  的收敛区间是以原点为中心的区间.  n=0 n n a x x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间

推论 如果幂级数∑4nx”不是仅在x-0一点收敛也不 是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在 使得 当x←时，幂级数绝对收敛 当x>R时，幂级数发散 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间 HIGH EDUCATION PRESS

x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间 推论 如果幂级数 不是仅在x=0一点收敛,也不 是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在， 使得 当|x|R时，幂级数发散; 当x=R与x= -R时，幂级数可能收敛也可能发散.  n n a x