《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章_D12_8一般周期的函数的傅里叶级数

第灬节 第十二章 一般周期的蓟款的传里叶级款 一、 以21为周期的函数的 傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式 HIGH EDUCATION PRESS 机动 结束

第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、傅里叶级数的复数形式 第十二章

一、以21为周期的函数的傅里叶展开 周期为21函数f(x〉 变量代换：= 周期为2·函数F(z) 将Fa)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2￾ 函数 F(z) 变量代换 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理.设周期为21的周期函数f(x)满足收敛定理条件， 则它的傅里叶展开式为 np xc (在f(x)的连续点处 其中 a,-0,fcee9dxa=0.12L) n=1,2,L） HIGH EDUCATION PRESS 机动 结

设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处 其中 ) 定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明 如果f(x)为奇函数，则有 f(x)="px (在f(x)的连续点处) 英中么-)sin (n=1,2,L) 如果f(x)为偶函数，则有 (在f(x)的连续点处 2 n=1 其中 (n=0,1,2,L) 注：无论哪种情况，在f(x)的间断点x处，傅里叶级 收敛于fx)+/x数1 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回

说明 : 其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处 ) 其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级 数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.把f(x)=x(0<x<2)展开成 (1)正弦级数， (2)余弦级 在x=2k处级 解：（教将fx)作奇周期延拓，则 数收敛于何值？ 有an=0(n=0,1,2,L) 2,2 今22Gxn np xdx 2 =[ 2 np 2 nD 4 cosnp (n=1,2,L) np nD ￥ f(x) (-1)n+1 np x a (0<x<2 n=1 n 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

例2. 把 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级 解 数. : (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则 有 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)将f(x)作偶周期延拓，则有 2,2 do-xd=2 2 2 np x bn=0(n=1,2,L) dx =[xsin np x n=2k ②-073”3- (k=1,2,L) a 2 (0<x<2 HIGH EDUCATION PRESS 机动

(2) 将 作偶周期延拓, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.周期为21的函数的傅里叶级数展开公式 (co ￥ x+bn sin npx n=1 (x口间断 fo=}0,/eeos9'dx包o,1.L) 其中 (n=1,2,L） 当f(x)为奇（偶）函数时，为正弦（余弦）级数 HIGH EDUCATION PRESS 结束

为正弦 级数. 内容小结 1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 (x ￾ 间断 点) 其中 当f (x)为奇 (偶)函数时, (余弦) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形？ 答：易看出奇偶性及间断点，从而便于计算系数和写出 收敛域 2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算？ 答：用系数公式计算an,b,时，如分母中出现因子n一k 则a或b,必须单独计算 作业：P3221(③)；2(2) HIGH EDUCATION PRESS 习题课目录 上员 下页 返回 结球

思考与练习 1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形? 答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算 如分母中出现因子n－k 作业: P322 1 (3) ; 2 (2) 从而便于计算系数和写出 收敛域 . 必须单独计算. 习题课 目录 上页 下页 返回 结束