《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_1对弧长曲线积分

第十一章 曲线积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分曲饯积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分

第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分

第一节 第十—章 对狐长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十一章

一、对弧长的曲线积分的概念有性质 1.引例：平面上曲线形构件 5,1 已知线密度函数，求其质量 匀质之质量M=pS 分割在L中插入n-1个分点M1,M2,Mm-1 取(5,7，)∈△S,△M,≈p(5,7,)△s 近似求和M≈∑p(5,n》△s 近似值 取极限取2=max{△S1,△S2,.,△sn} M=lm∑P5,n)△y 精确值 20 1=1 HIGH EDUCATION PRESS

o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , )  i i L 匀质之质量 M =  s 分割 , , , , M1 M2  Mn−1 ( , ) , i i i 取    s i i i i M  ( , )s 近似求和 =   n i i i i M s 1 ( , ) 取极限 = → =  n i i i i M s 1 0 lim ( , )  近似值 精确值 i s 在L中插入n - 1个分点 max{ , , , } 1 2 n 取  = s s  s 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例: 平面上曲线形构件， 已知线密度函数，求其质量

2、定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数x,y)在 L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,.,Mn1把L 分成n个小段取(5,7为△s,任意一点，作乘 积f(5,n,)As,(=1,2,n),并作和∑f(G5,n)A,如 果当各小弧段的长度的最大值入→0，这和的极限 总存在，则称此极限为函数x,y)在曲线弧L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作： ∫fx,ds 即 fxs=∑f5n) HIGH EDUCATION PRESS

2、 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数 f(x,y)在 L上有界，在L上任意插入一点列 把L 分成n个小段. 取 为 任意一点，作乘 积 ，并作和 ,如 果当各小弧段的长度的最大值 ，这和的极限 总存在，则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长 的曲线积分或 i ( ) s i i , f ( , ) s (i 1,2, ,n)  i i  i =   ( ) =  n i i i i f s 1  ,  → 0 1 2 1 , , , M M  Mn− 第一类曲线积分， L f (x,y)ds  = → =  n i i i i L f x y s f s 1 0 ( , )d lim ( , )  记作： 即

被积函数 Jzf(c,y)达=1m∑f5,7,)△ 积分和式 →0 积分弧段 弧元素 几点说明： (1)物理意义：曲线形构件的质量M=∫，p(x,y)k (2)所谓“对弧长的积分”，有两个特征： ·积分和是在曲线弧L上作出的； 。 积分和中的微元素是小弧段的长度，被积 表达式中的微分是弧微分或弧元素。 （3)存在条件：当x,y)在光滑曲线L上连续时，对 弧长的曲线积分存在 HIGH EDUCATION PRESS

L f (x, y)ds 被积函数 积分弧段 积分和式 （1）物理意义：曲线形构件的质量 ( , ) .  = L M  x y ds = → =  n i i i i f s 1 0 lim ( , )  弧元素 几点说明： （2）所谓“对弧长的积分”，有两个特征： • 积分和是在曲线弧L上作出的； • 积分和中的微元素是小弧段的长度，被积 表达式中的微分是弧微分或弧元素。 （3）存在条件：当f(x,y)在光滑曲线L上连续时，对 弧长的曲线积分存在

(4)L可以推广到分段光滑的情形L=L1+L2 ∫f(x,y)k =J2,(x,)+2,fx,y)☒ 2 (5)推广至空间的情形 f(x,y,z)在空间光滑曲线T的对弧 长的积分为： (5,7,5i》 f3,y)还=m∑f5,n,5)△s 0 i= 0 HIGH EDUCATION PRESS

（4）L 可以推广到分段光滑的情形 i n i i i i f x y z ds =  f s  =  → 1 0 ( , , ) lim ( , , )  o x y L1 L2 L = L1 + L2 L f (x, y)ds =  1 ( , ) L f x y ds +  2 ( , ) L f x y ds （5）推广至空间的情形 y x z Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , , )  i i  i  i s A B 0 在空间光滑曲线的对弧 长的积分为：

（6)如果L是闭曲线，则记为∫f(x,y)ds 思考： 若在L上f(x,归1， 问ds表示什么？ ds)s k= =∑= k=1 ∫ds=/(曲线弧的长度) HIGH EDUCATION PRESS

（6）如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 思考: 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s 0 1 lim n k k s → = =   = s k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0    L f (x, y)ds d L s l =  （曲线弧L的长度）

3、性质： 性质1：线性性质 a/ga=c/d±g,k 性质2若积分弧段L可分成两段光滑的曲线弧L和L2,则 ff(x,y)ds ff(x.y)ds+ff(x,y)ds L 性质3设在L上f(x,y)≤g(x,y),则 ff(x)ds≤∫g(x,yds 特别地，有f,ds/,yas HIGH EDUCATION PRESS

 ( , ) ( , ) d ( , )d ( , )d  L L L     f x y g x y s f x y s g x y s  =      =  +  L L L f x y s f x y s f x y s 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d 性质2 性质1：线性性质 3、性质： ( , )d ( , )d    L L f x y s g x y s 特别地，有 ( , )d ( , ) d .    L L f x y s f x y s 性质3

二、 对孤长的曲线积分的计算法 f()ds (5,n 内容回顾：平面曲线弧长的计算 假设L的方程为x=p) a≤t≤B, y=w(t) 则有d=√p'()+w(2di 所以曲线弧的长度为s=∫√+(d1 HIGH EDUCATION PRESS

o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , )  i i L i s 内容回顾：平面曲线弧长的计算 假设L的方程为 ( ) , , ( ) x t t y t      =     = 则有 2 2 ds t t d t = +     ( ) ( ) 二、对弧长的曲线积分的计算法 L f (x, y)ds dx dy ds x y o x 所以曲线弧L的长度为 2 2 s t t d t ( ) ( )   = +     

基本思路： 求曲线积分 转化 计算定积分 定理设x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程 为 x=p(t） (a≤t≤B) (y =v(t) 其中p(),w()在[a,B上具有一阶连续导数，且 p2()+y2()≠0，则曲线积分f(x,y)ds存在，且 ∫x,tds=∫f[0.yp0+w石d(a<p HIGH EDUCATION PRESS

定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程 为 一阶连续导数   2 2 ( , )d ( ), ( ) ' ( ) ' ( ) d ( ) L f x y s f t t t t t   = +          基本思路: 计算定积分 转 化 求曲线积分