《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章_8-2数量积 向量积

第二节 第八章 数量积向量积*混合积 一、 两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第八章

一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W Fs cose 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M M 记作 a B cos0 a.B W=F.5 为a与的数量积（点积） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 当a≠0时，b在a上的投影为 a.babcoso Priab Bcos0 a.B=a Prjab a.b=bPrjra a 2.性质 (0)a.a=a2 a≠0，b≠0 则ab=0 (2)a,b为两个非零向量，则有 O ab-0-aLb HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 b 在a上的投影为   2. 性质 为两个非零向量, 则有 Prja  b b a b = a Prja  b (1) a  a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a  0, b  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义

3.运算律 (1)交换律a.b=ba (2)结合律(2,4为实数) (2a)-b=a.(2b=2(a.b) (2a)(ub)=2(a·(ub)》 =2u(a.b) (3)分配律(a+D)c=ac+b·d 事实上，当c=可时，显然成立，当c≠0时 (a+b)@Prjz(a+B)=|(Prjza+PrjeB) Prjaa+Prjcb =a-c+b. HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b) =  ( a ( b)) =   (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c  0时 ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj  + Prj  = c Prj c  a + c Prj c  b = a  c + b  c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b c=(反-@-)=a+b.b-2a万 a2+32-2 allbcoso a=a,b=b,c=7 c2 a2 +b2 -2abcos0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

A B C  a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c ( a − b)( a − b)= a  a + b b − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.数量积的坐标表示 设a=(a,aa),a=(bx,b,b),则a-b=a,bx+a,b+a.b a=ai+ayj +ak,b=bi+b j+bk, ab (a i+ayj +ak)(bi+byj+bk) a bxiita b,ijta b ik +a,bj产ita,byjjHa,bjk ii=j万=k元=1， ta bk-itabkjtab_kk i.j-i.k-k7-0 abxt abyrab:. HIGH EDUCATION PRESS

4. 数量积的坐标表示 a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k, a·b = (ax i +ay j +az k)·(bx i +by j +bz k) = ax bx i·i+ax by i·j+ax bz i·k +ay bx j·i+ay by j·j+ay bz j·k +az bx k·i+az by k·j+az bz k·k = ax bx+ ay by+ az bz . a·b = ax bx+ay by+az bz 设a=(a . x , ay , az ), a=(bx , by , bz ), 则

4.数量积的坐标表示 设a=(a,a,a),a=(bx,b,b),则ab=a,b+a,b+a.b. 5.两向量的夹角公式 当a,为非零向量时，由于a.b=cose0,得 cos0= a.b axbx +ayby +a-b 2B2+B+B2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 x y z a + a + a 2 2 2 x y z b + b + b 由于 a b cos a b 5. 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示 a·b = ax bx+ay by+az bz 设a=(a . x , ay , az ), a=(bx , by , bz ), 则

例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1,B(2,1,2),求 ∠AMB 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) 则 coS∠AMB= MA.MB MAMB 1+0+0 1 22 2 故 ∠AMB= 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

MA = ( ), MB = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2,2,1),B( 2,1,2),  AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cosAMB = 1+ 0 +0 2 2 AMB= 求 MA MB MA MB 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平 面域，且)与该平面域的单位垂直向量的夹角为0， 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度 为p) 解：P=PAcose0 方为单位向量 -pAT.n 单位时间内流过的体积 4cose HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

为  ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量  A 解: 单位时间内流过的体积 P = =  A 且 的夹角为 v v v  n 为单位向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两向量的向量积 引例设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M: M=oF=OPFsino OP三F三M符合右手规侧 MLOP MIF 00=Op sin0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L   Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP  F  M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F 机动 目录 上页 下页 返回 结束