《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章_D12_1常数项级数

第十二章 无穷级数 数项级数 无穷级数 幂级数 傅里叶级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究函数性质 数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究函数性质 数值计算 数项级数 幂级数 傅里叶级数 第十二章

第一节 第十二章 常数项级数的橇念和性质 一、 常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 HIGH EDUCATION PRESS 是上页下页返回结束

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十二章

一、常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积！ 正六边形的面积C 正十二边形的面积：a1+a2 3×2”边形面积为 41+a2.+am n→o∞时，圆的面积A为： A=4+a2.+an+ 13、 3 3 310 100 1000 10 HIGH EDUCATION PRESS

一、常数项级数的概念 a1 + a2 1 3 3 3 3 3 10 100 1000 . 0 2 1 n = + + + + + a1 + a2 + an 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 圆的面积 A 为： 正六边形的面积： 正十二边形的面积： A = a1 + a2 + an +

定义：给定一个数列4,42，.，4n,.将各项依 0 次相加，简记为 ∑4n,即 一般项 n=] 00 ∑4n=功1+42+++4n+. n=1 称上式为（常数项）无穷级数 级数的部分和 Sn=∑4k=功+2+3++4n级数的前n项和 k=1 部分和数列 S1=u1,S2=41+儿2，S3=41+42+儿3，.， Sn=4+u2+.+um>. HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,  , un ,  将各项依 , 1   n= n u 即 称上式为（常数项）无穷级数. 级数的前 n 项和 级数的部分和: 次相加, 简记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般项 部分和数列: , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3  sn = u1 + u2 ++ un , 

级数举例 级数的展开形式 简写形式 般项 备注 调和级数 n 11 12*23*.++ t. 含 n(n+1) a+ag+ag2+.+aq"+. ag"-I 等比级数 n=0 几何级数 1+动 铝 np p一级数 例 三s- ()”-1 p>0 →2， () HIGH EDUCATION PRESS

级数举例 1 3 1 2 1 1 1 1  = + + +  + +   n= n n 1 3 1 2 1 1 1 1  = + + +  + +   n= n n 1 3 1 2 1 1 1 1  = + + +  + +   n= n n 调和级数 ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 +  + +  +  + +    ( 1) n= n n n n 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 +  + +  +  + +    n= n n n n ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 +  + +  +  + +    n= n n n n 2 0  = + + +  + +   = n n n aq a aq aq aq 2 0  = + + +  + +   = n n n aq a aq aq aq 几何级数 1 3 1 2 1 1 1 1  + + +  + +   = p p p n np n 1 3 1 2 1 1 1 1  + + +  + +   = p p p n np n 1 3 1 2 1 1 1 1  + + +  + +   = p p p n np n 级数的展开形式 简写形式 一般项 备注 aqn-1 等比级数 p—级数 1 0 0 1 ( ) 1 1 1 2 : ( ) , ( ) 2, ( ) 2 2 1 1 2 n n n i n n i S n + − = = − = = → →  − 例   p  0

定义2如果级数∑un部分和数列{sn}有极限s,即 n=l lim Sn =S n-→0 00 则称无穷级数∑4，收敛s称为此级数的和且有 n=1 S=u1+l2+.+un+.) 00 若{sn}无极限，则称无穷级数∑4n发散 7n= 即常数项级数收敛（发散）← lim s存在（不存在） n→00 当级数收敛时，称差值 n=S-Sn=4n+1+4n+2+·为级数的余项 显然 lim n =0 HIGH EDU品N PRESS

s s n n = → lim 则称无穷级数  收敛. s称为此级数的和.且有  n=1 n u , s = u1 + u2 ++ un + 定义2 如果级数  部分和数列 有极限s，即  n=1 un { }n s 若 无极限，则称无穷级数  发散.  n=1 n {sn } u 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然 lim n n s 即 常数项级数收敛 → (发散) 存在(不存在)

例1.讨论等比级数（又称几何级数） ∑ag”=a+ag+aq2++ag”+.(a≠0)〉 1n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若q≠1，则分和 Sn=a+ag+ag2+.+ag"1=a-ag" 1-4 当goo 因此级数收敛，其和方吕g 当g>1时，由于1img”=oo,从而lim S=oo, 1n→o0 n->o0 因此级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim =  , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

∑ag”=a+aq+ag2++ag”+.(a≠0) n=0 2).若9=1，则 当g=1时，Sn=na→0，因此级数发散； 当q=-1时，级数成为a-a+a-a++(-1)2a+. 因此 n为奇数 n为偶数 从而lim S2不存在，因此级数发散 1>00 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； 9≥1时，等比级数发散 HIGH EDUCATION PRESS

2). 若 因此级数发散 ; 因此    Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散

例2 证明级数 1+2+3+.+n+. 是发散的 证此级数的部分和为 Sn=1+2+3+.+n= n(n+1) 2 显然，imsn=oo,因此所给级数是发散的. 1>00 HIGH EDUCATION PRESS

例2 证明级数 1+2+3+    + n +    是发散的. 证 此级数的部分和为 2 ( 1) 1 2 3 + = + + +  + = n n s n n . 2 ( 1) 1 2 3 + = + + +  + = n n s n n

例3.判别下列级数的敛散性 ) n 1 (2) n=n(n+1) 解0)，=ln+n+ln++1n =d2(-lnk++nn+)- =In(n+1)-In1->oo (n->oo) 所以级数(1)发散， (2)见书P253 例3 拆项相消”求和 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn = ln = (ln 2 − ln1) + (ln3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = + − ln( 1) ln1 n →  (n → ） 所以级数 (1) 发散 ; “拆项相消” 求和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 见书P253 例3