《线性代数》课程PPT教学课件（B）第二章 矩阵与向量 2-3向量的线性关系

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系， 1.定义2.3.1对于向量a%1,2,am和a,若存在m 个数21,22，.，2m,使得： a=1a%1+22+.+九mam 则称是，2，Cm的线性组合，1,2，.，m称 为组合系数。 或者称向量a可由向量组，必2，am线性表示 说明：()零向量是任何一组向量组的线性组合

一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数。 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 . 或者称向量可由向量组1 ,2 ,.,m线性表示

例1设n维向量 61=(1,0,0) 62=(0,1,.,0) En=(0,0,1) 0=(41,42,4n)是任意一个n维向量，由于 =(41,42,.,an)=a181+a2E2+a383+.+anen 通常称61，c2,.,￡n为n维单位坐标向量组。 (2)任一n维向量a可由维单位坐标向量组61,2，.，6m 线性表示出来

1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n              例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组. . (2) , , , 1 2 线性表示出来 任一 维向量 可由维单位坐标向量组 n n      n n n   a a  a  a  a  a  a  1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , )

2.向量a能否由向量组心1，.，am线性表出可转化 为线性方程组有没有解的问题. x a+x2a2+.+x an=B Gj %= j=l,2.n a水+42x2++amXm=b a+ax+.+a,x=b (*) B= amx+anx++amn =bm

(*) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1                  m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 n n x   x     x    1 2 1,2, , j j j mj a a j n a            1 2 m b b b          . 2. , , 1 为线性方程组有没有解 的问题 向量能否由向量组    m线性表出可转化

(①)B可由向量组1，.0，线性表示一线性方程组(*) 有解 (2)B不能由向量1,2.以n线性表示一线性方程组(*) 无解 3.一般地，B与a1,2,.,um的关系为下列三种情况之一 (I)B河由4，.，&m线性表示，且表示法唯一。 (2)B可由4，.，anm线性表示，但表示法不唯一。 (3)B不能由a,.,n线性表示

(3)不能由1，, m线性表示。 (2)可由1，, m线性表示，但表示法不唯一。 (1)可由1，, m线性表示，且表示法唯一。 3.一般地,与1 , 2 ,, m的关系为下列三种情况之一 . (1) , (*) 1 2 有解 可由向量组   n线性表示  线性方程组 . (2) , (*) 1 2 无解 不能由向量   n线性表示  线性方程组

例题2判断向量=(0,4,2)是否是向量组1=(1,2,3)， a2=(2,3,1),3=(3,1,2)的线性组合？ 解：先假定a=几，a,+2+ag,即 0,4,2)=2(1,2,3)+22(2,3,1)+元3(3,1,2) =(21+222+323,221+322+23,3元1+22+223) 因此 2+222+323=0, 2元+3九2+23=4， 321+元2+223=2

1 2 3 (0,4, 2)   (1, 2, 3)   (2, 3,1)   (3,1, 2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3  (  2  3 , 2  3   , 3    2 ) 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.                        解：先假定   11  22  33，即 (2,3,1), (3,1,2) ? 2 (0,4,2) (1,2,3), 2 3 1 的线性组合 例题 判断向量 是否是向量组        

由于该线性方程组的系数行列式 123 231: =-18≠0， 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 九1=1,22=1，元3=-1 于是a可表示为C=01+02-03

由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2    由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3   1,  1,  1 于是可表示为   1 2 3

二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2设n维向量组1,2，am，如果存 在不全为0的m个数k1,2,.,km,使得 k1C+k2必2+.+kmam=0 则称向量组%1,2，m线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：

1.定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存 在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:

()含有零向量的向量组必线性相关 (2)如果向量组a1,%2,0nm中有某两个向量a=kcg ()，对应成比例，那么向量组%1,2，m线性 相关； (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (4)只有一个向量α的向量组线性相关的充要条件是 0=0;

(4)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的

2向量组线性关系的判定 向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 1C1+x202+.+xnan=0 = j=1,2n a1X1+a12X2+.+a1nxn=0 0 a21X1+a22X2+.+a2mXn=0 0 0 am+am2X2++amxn=O 0

向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a            0 0 0 0         1 1 2 2 0 n n x   x     x                    0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     2.向量组线性关系的判定