《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型

第五章相似矩阵与亡次型 §5.6正定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型

第五章相似矩阵与二次型 一、正定二次型的概念 如果对任意维列向量X10,都有f=XX30,则 称f=X丝X为半正定二次型，并称实对称矩阵A是 半正定矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 一、正定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 充分性 即二次型正定

第五章 相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 充分性 : 即二次型f正定

第五章相似矩阵与二次型 必要性（反证法） Ce,10,则有f(X)=f(Ce,)=l.￡0. 推论I:实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 的特征值全为正数， 推论2：实二次型f=XX为正定的充分必要条件是 它的规范标准形为f=y子+y好+L+y 推论3实二次型f=X4X为正定的充分必要条件是 它的正惯性指数为n

第五章 相似矩阵与二次型 必要性 (反证法 )

第五章相似矩阵与二次型 el 0 L 0ù ceC=l=60 1,L 04 L L LLú 0 L ú

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 特别注意：推论4的逆命题不成立。 e-10ù A= 0-18 11 l12 L k L 的阶行列式 L21 a22 (2k L L L ak ak2 L kk 称为矩阵A=(a:)的k阶顺序主子式

第五章 相似矩阵与二次型 特别注意：推论4的逆命题不成立

第五章相似矩阵与二次型 解：()二次型的矩阵为 3 2 ù A- 82 4 -2 0 -2 ǘ

第五章 相似矩阵与二次型 解:(1)二次型的矩阵为

第五章相似矩阵与二次型 以P记它的顺序主子式，则 3 2 P=3>0,P =8>0,P=A=28>0 由定理5.6.2知，f正定， e-5 2 2 (2)二次型的矩阵为 -6 08 2 0 -4日 它的顺序主子式， P=-50,P3A=-80<0 由定理5.6.2知，不是正定的

第五章 相似矩阵与二次型 以Pk记它的顺序主子式，则 由定理5.6.2知，f正定. (2)二次型的矩阵为 它的顺序主子式， 由定理5.6.2知，f不是正定的

第五章相似矩阵与二次型 三、负定二次型的概念 如果对任意非零维列向量X10,都有f=XX￡ 0,则称f=XX为半负定二次型，并称实对称矩阵 是半负定矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 三、负定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 (I)标准型中平方项的系数全部小于零 (2)二次型矩阵的特征值全部小于零！ (3)二次型的规范标准型为-y2-L-y,2, 或者二次型的矩阵合同于E (4)二次型的负惯性指数为n

第五章 相似矩阵与二次型