《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算_3-1 矩阵的运算

线性代数 山东理工大学

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第3章矩阵的运算 ·内容提要 §3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 §3.4分块矩阵

第3章 矩阵的运算 ◼ 内容提要 §3.1 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 §3.3 初等矩阵 §3.4 分块矩阵

第3章矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 ●矩阵相等 矩阵的加减法 ·矩阵与矩阵相乘 ●矩阵的转置 ·方阵的行列式 ·共轭矩阵

§3.1 矩阵的运算 ● 矩阵相等 ● 矩阵的加减法 ● 矩阵与矩阵相乘 ● 矩阵的转置 ● 方阵的行列式 ● 共轭矩阵 第3章 矩阵的运算

1.矩阵相等 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 矩阵相等： 设矩阵Anxm与Bxn是同型矩阵， 且对应元素相等，即4=b,(i,j=1,2,m) 称矩阵A与B相等，记作A=B. 例如 6-6 则 x=3,y=2,7=-8

1. 矩阵相等 矩阵相等:       −  =      − − 0 2 4 3 1 0 4 1 8 z y x 例如 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 ( , 1,2,., ) . ij ij a b A B m n m n i j n A B A B =  = = 设矩阵 与  是同型矩阵， 且对应元素相等，即 称矩阵 与 相等，记作 则 x = 3, y = 2,z = −8

2.矩阵的加减法 加法： 设有两m×n矩阵A=(an)B=(bn)那么矩阵 A与B的和记作A+B,规定为 41+b142+b2L 21+b21 az2+b22 L azn+bzn A+B= L L L L am+bm am2+m2 L amn+bm

11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b L L L L L L L   + + +   + + +   + =       + + + 2. 矩阵的加减法 设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为 m  n ( ), ( ), A = aij B = bij A B A+ B 加法:

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算 例如： 12 8 -9 6 5 3 6 8 3 2 12+1 3+8 -5+9 13 11 1+6 -9+5 0+4 7 -4 4 3+3 6+2 8+1 6 8

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例如：           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = −

负矩阵： 一1 一12 L 一n 一21 一L22 L -A= =(a,） L L L L 称为矩阵A 一Lml -Aml L 一Lmn 的负矩阵。 减法： A-B=A+(-B) 矩阵加法满足的运算规律： 交换律：A+B=B+A. (2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+O=A,其中A与O是同型矩阵 (4)A+(-A)=O

减法: 负矩阵： A− B = A+ (−B) 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a L L L L L L L   − − −   − − −   − =     − − −   ( ) = − aij A 。 称为矩阵 的负矩阵 矩阵加法满足的运算规律: (1) 交换律：A + B = B + A. (2) 结合律： (A + B) + C = A + (B + C). (4) A + (− A) = O. (3) , . A O A A O + = 其中 与 是同型矩阵

数与矩阵相乘 数乘：数2与矩阵A的乘积记作2A或A九，规定为 211 212 L 入1n 2L21 2L22 L 几A=A几= Aazn L L L L 入aml Aam L 注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别： 2 25

数与矩阵相乘 数乘: 11 12 1 21 22 2 1 1 . n n m m mn a a a a a a A A a a a L L L L L L L                  = =       数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为 注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.       0 5 2 1 3 2 2       = 0 10 4 2 6 4 2 5 1 2 2 4 5 2 2 =

数乘矩阵满足的运算规律： (设A、B为m×n矩阵，九，为数) (1)1A=A; (2)2(uA)=(2四)A (3)(2+4)A=A+A (4)2(A+B)=A+2B. 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算

(2 ; )    ( A A ) = ( ) (3 ; ) (    + = + ) A A A (4 . )    ( A B A B + = + ) 数乘矩阵满足的运算规律： 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 A、B 为 mn 矩阵，  , 为数） (1 1 ; )  = A A

3.矩阵与矩阵相乘 定义设A=(a)是一个m×s矩阵，B=(b,)是一个 3.1.1:s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积 是一个m×n矩阵C=(c),其中 Cy=anby +anb +L +dnby ->anby k= (i=1,2,Lj=1,2,L,n), 并把此乘积记作 C=AB

定义 3.1.1： 1 1 2 2 1 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + = L  (i m j n = = 1 2 1 2 , , ; , , , , L L ) 并把此乘积记作 C = AB. 3. 矩阵与矩阵相乘 ( )ij C = c 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 ( ) A = aij m  s ( ) B = bij s  n m  n A B