《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 矩阵与向量 第一节 消元法与矩阵的初等变换

第二章 矩阵与向量 第一节 线性方程组的加减消元法 与 矩阵的初等（行)变换

第二章 矩阵与向量

用加减消元法解线性方程组的方法 设有三元线性方程组 2x1-X2 +2x3=4, +X2 +23=1, (2.1) 4x1 +X2 +4x3=2. 先将方程组的第一、二两个方程的位置互换，得到 x1 +x2 +2x3=1, 2X1 -X2 +2x3=4, (2.2) 4X1+x2 +4x3=2. 将方程组(2-2)的第一个方程的-2倍加到第二个方程上，-4倍加 到第三个方程上，得到

用加减消元法解线性方程组的方法 设有三元线性方程组      1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 - 2 = 4, + 2 1, 4 + 4 2. x x + x x x + x = x x + x = (2.1) 先将方程组的第一、二两个方程的位置互换，得到      1 2 3 1 2 3 1 2 3 + 2 = 1, 2 - 2 4, 4 + 4 2. x x + x x x + x = x x + x = (2.2) 将方程组(2-2)的第一个方程的-2倍加到第二个方程上，-4倍加 到第三个方程上，得到

+X2 +2x3 =1, -3x2 -2x3 2, (2.3) 3x2 -4x3 =-2. 将方程组(2-3)的第二个方程的-1倍加到第三个方程上，得到 x +x2 +2x3 =1, -3x2 -2x3 =2, (2.4) -2x3 =-4. 将方程组(2-4)的第三个方程的-1倍加到第二个方程上，+1倍加 到第一个方程上，得到 XI +X2 =-3, 3X2 =6, (2.5) -2x3 =-4

     1 2 3 2 3 2 3 + 2 = 1, -3 -2 2, -3 4 -2. x x + x x x = x - x = (2.3) 将方程组(2-3)的第二个方程的-1倍加到第三个方程上，得到      1 2 3 2 3 3 + 2 = 1, -3 -2 2, 2 -4. x x + x x x = - x = (2.4) 将方程组(2-4)的第三个方程的-1倍加到第二个方程上，+1倍加 到第一个方程上，得到      1 2 2 3 + = -3, -3 6, 2 -4. x x x = - x = (2.5)

最后，将方程组(2-5)的第二个方程的13倍加到第一个方程上， 将第二、三个方程分别乘以数-13，-1/2，得到 x1=-1, x2=-2, (2.6) 3=2 易见加减消元法求解方程组，是对方程组反复实施下列三种变换 (1)交换两个方程的位置： (2)用一个非零的数乘以某一个方程； (3)把某个方程乘以一个常数后加到另一个方程上去。 我们把以上三种变换叫做线性方程组的初等变换

最后，将方程组(2-5)的第二个方程的1/3倍加到第一个方程上， 将第二、三个方程分别乘以数-1/3，-1/2，得到 , , .      1 2 3 = -1 = -2 = 2 x x x (2.6) 易见加减消元法求解方程组，是对方程组反复实施下列三种变换 （1）交换两个方程的位置； （2）用一个非零的数乘以某一个方程； （3）把某个方程乘以一个常数后加到另一个方程上去。 我们把以上三种变换叫做线性方程组的初等变换

一.矩阵概念 1.矩阵的定义 由m×n个数a(i=1,2,mj=1,2,.,n) 排成的m行n列的数表， 11 012 L21 L22 . (2.7) A= A2n am Am2 称为m行n列矩阵.简称m×n矩阵.简记为 A=(a,)nn或Ac

一. 矩阵概念 1. 矩阵的定义 简记为 ( )ij m n A a  = A mn 或 m n a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) 由  个数 ij =  =  排成的m行n列的数表， 称为m行n列矩阵.简称mn矩阵. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       (2.7)

实矩阵：元素全是实数 复矩阵：元素是复数 例如： 是一个2×4实矩阵， 7136 2i 2 22 是一个3×3复矩阵， 222

实矩阵: 元素全是实数 复矩阵： 元素是复数 例如：       − 9 6 4 3 1 0 3 5 是一个 24 实矩阵,           2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 33 复矩阵

例如，一般元线性方程组 41x1+412X2++a1xn=b1 a1+ax2++anxn=b2 (2.8) amix+am2x2++amnxn=bm 的未知量的系数可以用矩阵A=(a)来表示，此时称4为 方程组(2.8)的系数矩阵。而称方程组(2.8)的系数和常数项 共同组成的矩阵 411 A 21022· 01nb2 (2.9) mlm2mm bm)mxn+） 为线性方程组(2.8)的增广矩阵。（是与线性方程组彼此一一对应的）

例如，一般n元线性方程组 , , .        11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = (2.8) 的未知量的系数可以用矩阵 来表示，此时称A为 方程组(2.8)的系数矩阵。而称方程组(2.8)的系数和常数项 共同组成的矩阵 ( )ij m n A a  = 为线性方程组(2.8)的增广矩阵。（是与线性方程组彼此一一对应的） n n m m mn m m n a a a b a a a b A a a a b  +       =       11 12 1 1 21 22 1 2 1 2 ( 1) (2.9)

2.一些特殊的矩阵（对Amn型矩阵） 零矩阵(Zero Matrix): 元素全为零的矩阵称为零矩阵， mXn零矩阵记作0mxn或O 注意：不同阶数的零矩阵是不相等的： 例如： 0000 0000 ≠(0000). 0000 0000

2.一些特殊的矩阵 零矩阵(Zero Matrix): (对 型矩阵) Amn 注意： (0 0 0 0). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如： 元素全为零的矩阵称为零矩阵， mn 零矩阵记作 omn 或 o

行矩阵(Row Matrix):只有一行的矩阵A=(a1,a2,an) 称为行矩阵（或行向量）. 列矩阵(Column Matrix):只有一列的矩阵 B- 称为列矩阵（或列向量） a 方阵(Square Matrix): 行数与列数都等于n的矩阵， 称为n阶方阵.可记作A, 13 6 2 例如： 2 2 2 是一个3阶方阵 2 2 2

行矩阵(Row Matrix): 列矩阵(Column Matrix): 方阵(Square Matrix): 只有一行的矩阵 ( , , , ), A = a1 a2  an 称为行矩阵(或行向量). , 2 1               = an a a B  只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 例如：           2 2 2 2 2 2 13 6 2 是一个 3 阶方阵. 行数与列数都等于 的矩阵， 称为 阶 n n . 方阵.可记作 An

对角阵(Diagonal Matri): 方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。 Λ=diag(a,a2,.an)= 数量矩阵(Scalar Matrix): 方阵，主对角元素全为非零常数k,其余元素全为零。 kEn k nn

对角阵(Diagonal Matrix): 方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。                = = n n a a a diag a a a   2 1 1 2 ( , , ) 数量矩阵(Scalar Matrix): n n n k k k kE                =  方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零