《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第3章 矩阵的运算_3.2 逆矩阵

3.2 逆矩阵

LOGO 3.2 逆矩阵

·矩阵可逆的定义 。 矩阵可逆的条件 ·逆矩阵的性质

• 矩阵可逆的定义 • 矩阵可逆的条件 • 逆矩阵的性质

撤离 (2327 4418) 明码电文人 0 2 4 加密电文 N 4 三 8 0 0口 三

撤 离 明码电文 加密电文 (2327 4418) ᵆ = ᵆ ᵆᵆ = ᵆ

矩阵方程 元一次方程 E口 GH口 (≠0) 口 口 G =1E日1 日1=a1G1

矩阵方程 一元一次方程 ᵆᵆ= ᵆ ᵆ= ᵆ ᵆ ᵆᵆ= ᵆ    (ᵆ≠ 0) ᵆ= ᵆ ᵆ = ᵆ− 1ᵆ= ᵆ− 1 ᵆ− 1 = ᵆ− 1ᵆ= 1 ？

一、矩阵可逆的定义 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶 方阵B,使得 AB=BA=E 成立，则称矩阵A是可逆的，B称为A的逆矩阵. ·矩阵A与它的逆矩阵互为逆矩阵. ·若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的，记作A1

一、矩阵可逆的定义

二、矩阵可逆的条件 011 Q12 013 1、设A= 021 Q22 023 求满足条件AB=E a31 Q32 033 的矩阵B. 解设 X11 X12 X13 B= X21 X22 X23 X31 X32 X33

二、矩阵可逆的条件

二、矩阵可逆的条件 011 012 013 X11 X12 X13 1 0 0 则AB= 021 22 Q23 X21 X22 X23 0 1 031 Q32 Q33 X31 X32 X33 0 0 1 a11x11+a12X21+a13x31=1, 11 a12 013 24n十2妞+2号1=0， (A= C21 a22 Q23 0 日+22组+另35 =0. Q31 Q32 0331 1 a12 013 1 1 a11 a13 A12 X11= 0 a22 a23 A11 X21 a21 0 a23 0 a32 a33 IAI a31 0 a33 IAI' A13 X31= IAL

二、矩阵可逆的条件 ᵆ21ᵆ11 + ᵆ22ᵆ21 + ᵆ23ᵆ31 = 0, ᵆ31ᵆ11 + ᵆ32ᵆ21 + ᵆ33ᵆ31 = 0

二、矩阵可逆的条件 011 012 13 X11 X12 X13 则AB= a21 a22 23 X21 X22 X23 031 Q32 a33 X31 X32 X33 100 0 1/ 1 A11 A21 A31 B IAI A12 A22 A32 A13 A23 A33 1 a12 a13 A11 1 011 1 Q13 0 a22 A12 X11 a23 0 IAI X21= 21 0 a23 a32 a33 0 d33 |A' a31 A13 X31= IAL

二、矩阵可逆的条件

二、 矩阵可逆的条件 2、伴随矩阵 定义设A=(a)是一个n阶方阵，Aj是矩阵A中 元素ai的代数余子式，则n阶矩阵 A11A21 Ain A12 A22 A2n Ain A2n Ann 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*

二、矩阵可逆的条件

二、矩阵可逆的条件 性质AA* =知=加 011 12 . ain /A11 A21 . Ain C21 C22 02m A12 A22 : ani an2 ann Ain A2n Ann ndnadde i=j i丰j

= ᵆ∗ᵆ = |ᵆ|ᵆ 二、矩阵可逆的条件