《高等数学》课程教学资源（PPT课件）常系数齐次线性微分方程

人 第七节常系数齐次线性微分方程 基本思路： 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根 以

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节 常系数齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化

二阶常系数齐次线性微分方程 一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y()+Py(m-D+.+Py'+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y"+y'+y=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y”+py'+y=f(x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + −  + = −  二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数齐次线性微分方程

二、二阶常系数齐次线性方程解法 y”+py'+y=0 -特征方程法 特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想 有特解 设y=ex,将其代入上方程，得 (r2+pr+g)ex =0 .ex≠0， 故有r2+pr+q=0 特征方程 由此可见，只要满足代数方程r2+pr+g=O,函数y=r就是 微分方程的解

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、二阶常系数齐次线性方程解法 y + py + qy = 0 -特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e  0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想 有特解 rx y = e 由此可见 只要r满足代数方程r 2+pr+q=0 函数y=e rx就是 微分方程的解

1.当p2-4q>0有两个不相等的实根 特征根为5=p+p-49,5=p-p-49 2 2 两个线性无关的特解 y1=e, y2 =en, 得齐次方程的通解为y=C1ex+C,e;

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 有两个不相等的实根 特征根为 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = 两个线性无关的特解 , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e 1. 当 4 0 2 p − q 

2.当p2-4q=0时，特征方程有两个相等实根1=2 =号，则微分方程有一个特解h=eix. 设另一特解y2=yu(x)=e1u(x)(u()待定) 代入方程得： ex[(2"+2id+片2u)+pW'+rw)+9u]=0 "+(2片+p)u+(2+ph+q)u=0 注意是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xhx,因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)ex

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u  + r1u + qu  = 0 2 u  + r1u  + r1 u 是特征方程的重根 u  = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u  + r1 + p u  + r1 + p r + q u =

3.当p2-4g<0时，特征方程有一对共轭复根 n=a+iB,n=a-iB 这时原方程有两个复数解： ye(B)x=eax(cs BxisinBx) y2=e(a-iB)x=eax(cos Bx-isinBx) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解 4=2(04+2)=exc0sBx -y2)=e4 sin Bx 因此原方程的通解为 y=e*(C cos Bx+C2 sin B x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3. 当 4 0 2 p − q  时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 +  = e (cos x i sin x ) x    = + i x y e ( ) 2 −  = e (cos x i sin x ) x    = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x   = cos e x x   = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = +

小结： y"+py+qy=0(p,q为常数) 特征方程：r2+pr+q=0,特征根：1,2 特征根 通 解 1≠？实根 y=Cex+Cex 片=3=-号 y=(C]+C2x)ex 1,2=a±iB y=ex(C COs Bx+C2 sinBx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 小结: y  + p y  + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程

推广： ym+4yn-)++an-1y+ay=0(a4均为常数) 特征方程 r"+ar"+.+an-ir+an =0 若特征方程含k重实根“，则其通解中必含对应项 (C+C2x+.+Cx-1)ex 若特征方程含k重复根r=心±iB,则其通解中必含 对应项 e@x[(C]+C2x+.+Cx)cosBx+ +(D+D2x+.+Dgx)sin Bx] (以上C,D均为任意常数)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 若特征方程含k 重复根 若特征方程含k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 0 ( ) 1 ( 1) 1 y (n) + a y n− ++ an− y  + an y = ak 均为常数 特征方程: 1 0 1 + 1 + + − + = − n n n n r a r  a r a 推广:

例1.求方程y”-2y'-3y=0的通解 解：特征方程r2-2r-3=0,特征根：1=-1,2=3， 因此原方程的通解为y=Cex+C2e3x d2s 。ds +2 +S=0 例2.求解初值问题 dt2 dt ds St=0=4, dit=0 =-2 解：特征方程r2+2r+1=0有重根1=2=-1， 因此原方程的通解为s=(C,+C2t)e 利用初始条件得 C1=4,C2=2 于是所求初值问题的解为s=(4+2t)et

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求方程 y  − 2 y  −3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 2 3 0, 2 r − r − = 特征根: 1, 3 , r1 = − r2 = 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 + + s = t s t s 4 , s t=0 = 2 d 0 d = − t t = s 解: 特征方程 2 1 0 2 r + r + = 有重根 1, r1 = r2 = − 因此原方程的通解为 t s C C t e − = ( + ) 1 2 利用初始条件得 4, C1 = 于是所求初值问题的解为 C2 = 2

例3.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 在无外力作用下做自由运动，取其平衡位置为原点建 立坐标系如图，设t=0时物体的位置为x=x0,初始 速度为o,求物体的运动规律x=x() 解：由第七节例1(P293)知，位移满足 自由振动方程，因此定解问题为 d2x +2n +k2x=0 dx dt 人1=0=0，d=0= dx

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. x x o 解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 0 0 d d v t x x t =0 = x0 , t = = + 2 2 d d t x 0 2 + k x = t x n d d 2 自由振动方程, 因此定解问题为