《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第2章 矩阵与向量_2.2 向量及其线性运算

2.2向量及其线性运算

LOGO 2.2 向量及其线性运算

·n维向量的定义 ·n维向量的运算 ·向量空间

一、 n维向量的定义 几何：二维向量(x,y),三维向量(x,y,z) 方程组的解：(k1,k2,.,kn)T 方程：a1x1十a2x2+.+anxn=b (a1,a2,.,anvb) 生活中：6位同学的年龄 (18,19,19,20,19,18)

一、n维向量的定义 定义2.2.1由n个数组成的有序数组 (a1,a2,.,an) 称为一个n维向量.a;称为它的第i个分量， ·通常用小写的希腊字母，B,y.来表示向量 定义 如果n维向量 a=(a1,a2,.,an),阝=(b1,b2,.,bn) 的对应分量都相等，即 a=b:(i=1,2,.,n) 则称这两个向量相等，记作议=B

二、n维向量的运算 1、向量的加法 定义2.2.2设n维向量 a=(a1,a2,.,an),B=(b1,b2,.,bn) 侧向量 y=(a1+b1,a2+b2,.,an+bn) 称为向量与β的和，记为y=x+B

二、n维向量的运算 2、向量加法的运算规律 (1)交换律：a+B=B+ (2)结合律：a+(B+Y)=(a+B)+Y a+B+y=a+(B+y)=(a+B)+y (3) 零向量0=(0,0，.，0)满足，对所有的向量 都有 c+0=C

二、n维向量的运算 2、向量加法的运算规律 (4)若向量x=(a1,a2,.,an),则 (-a1,-a2,.,-an） 称为a的负向量，记为-a.的负向量-a满足 &+(-)=0 ·定义向量a和B的减法： a-B=a+(-β)

二、n维向量的运算 3、数与向量的乘法 定义2.2.3设k是实数，n维向量 x=(a1,a2,.,an), 则向量 (ka1,ka2,.,kan) 称为数k与向量a的数量乘积，记为ka

二、n维向量的运算 4、数量乘积的运算规律 (5)分配律：k(a+B)=ka+kβ (6)分配律：(k+)a=ka+la (7)k(la)=(kl)a (8)1a=a ·++.+=1+.+1a=(1+.+1)a=n0 n个 ·如果ka=B,且k≠0，则(ka)=B,从而a=B

二、n维向量的运算 4、数量乘积的运算规律 (9)0a=0,k0=0,(-1)=-a (10)如果k≠0，≠0，那么ka≠0. 台如果k=0,那么k=0或者=0. 证明如果k=0,结论自然成立： 如果k≠0，设a=(a1,a2,.,an),由 ka (ka,ka2,.,kan)=0 可得ka=0(i=1,2,.,n),而k≠0，所以 a=0(i=1,2,.,n) 从而a=0