《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 习题课

山东农大 高等数 第十二章习题课 ●基本内容 。典型例题

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第十二章 习题课 基本内容 典型例题

方本 一、主要内容 阶方程 基本概念 高阶方程 类型 可降阶方程 二阶常系数线性 1.直接积分法 方程解的结构 2.可分高变量 3.齐次方程 特征方程法 线性方程 4.可化为齐次 解的结抱 特征方程的根 方程 及其对应项 5.全微分方程 待定系数 定理1；定理2 6.线性方程 定理3；定理4 f(x)的形式及其 特解形式 7.伯努利方程 欧拉方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一阶方程 基本概念 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待 定 系 数 法 特征方程法 一、主要内容

山东农 阶微分方程 三种基本类型 变量可分离 一阶线性 其余类型的方程可借助于变量代换或积 分因子化成基本类型 三种基本类型代表三种典型解法 分离变量法 常数变易法 变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 三种基本类型 变量可分离 一阶线性 其余类型的方程可借助于变量代换或积 分因子化成基本类型 三种基本类型代表三种典型解法 分离变量法 常数变易法 变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法 一阶微分方程

主计 方本堂 例1.求下列方程的通解 De=o. :(2)xy=Vx2-y2+y; 6x3+3xy2 (3)y'= 2x-y2 ④y= 3x2y+2y3 提示：)因e广+x=ee,故为分离变量方程 -y2e-xdy=e*dx 通解 jo/-0+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2  + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy  = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y −  = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + +  = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1

(2)xy'=Vx2-y2+y 方程两边同除以x即为齐次方程，令y=x,化为分 离变量方程 >0时，=1-()P+一w= x<0时，=1-()2+一w=-1- 1 (3)y'= 2x-y2 调换自变量与因变量的地位，化为 dr-2x=-y2, 用线性方程通解公式求解

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy  = x − y + y 2 2 (2) x  0时， 2 xu  = 1− u 2 xu  = − 1− u ( ) x y x y y  = − + 2 1 ( ) x y x y y  = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位, 2 2 1 (3) x y y −  = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为

等数学 主 苏本堂 (4)y'=- 6x3+3xy2 3x2y+2y3 方法1这是一个齐次方程.令u=y

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + +  = − 方法 1 这是一个齐次方程 . x y 令 u =

例2.求下列方程的通解； (1)xy'+y=y(Inx+Iny) (2)2xInxdy+y(y2Inx-1)dx=0 (3)y=3x2+y2-6x+3 2xy-2y 提示：(1)原方程化为(xy)'=yln(xy) 令u=xy,得 du=ulnu (分离变量方程) dx x (2)将方程改写为 dy 1 y、 (贝努里方程) 令z=y2 dx 2xInx 2x 机动目录上页下页返回结束

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求下列方程的通解: (1) xy  + y = y (ln x + ln y ) 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (2) 2 ln d ( ln 1)d 0 2 x x y + y y x − x = xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − +  = u x u x u ln d d = x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 − = − (贝努里方程) −2 令 z = y (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

主讲 苏本堂 (3)y=3x2+y2-6x+3 2xy-2y 化方程为 dy=3(x-1)2+y2 dx 2y(x-1) 令1=-1，则 dy dydt dy dx didx dt dy_312+y2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ui 可分离变量方程求解

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 令 y = u t xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − +  = 2 ( 1) 3( 1) d d 2 2 − − + = y x x y x y (齐次方程) t y t y t y 2 3 d d 2 2 + = 令 t = x – 1 , 则 t y x t t y x y d d d d d d d d = = 可分离变量方程求解 化方程为

练习题：P326题1,2,31)，(2)，(3)，(4)，(5)，(9)，(10) (题3只考虑方法及步骤) P326题2求以(x+C)2+y2=1为通解的微分方程 提示：x+C+1消去c得+D=1 12(x+C)+2yy'=0 P327题3求下列微分方程的通解： (1)xy'+y=2/xy 提示：令u=xy,化成可分离变量方程：u'=2 (2)xy'Inx+y=ax(Inx+1) 提示：这是一阶线性方程，其中 P(r)= xInx' Q(x)=a(1-

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 练习题: (题3只考虑方法及步骤) P326 题2 求以 为通解的微分方程. 提示:    ( ) 1 2 2 x +C + y = 2( x +C)+ 2yy  = 0 消去 C 得 P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)

山东农业大 主 本 (3) dy y dx 2(Iny-x) dx 2 2Iny 提示：可化为关于x的一阶线性方程 y y (4) +xy-xy3=0 dx 提示：为贝努里方程，令z=y2 (⑤)dr+dy+dy-xdy=0 微分倒推公式 x2+y2 提示：为全微分方程，通解 )+arctanC (9)(y4-3x2)dy+xydx=0 提示：可化为贝努里方程'y 令z=x2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 d 2(ln ) d (3) y x y x y − = 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 0 d d (4) 3 3 + xy − x y = x y 提示: 为贝努里方程 , 令 −2 z = y 0 d d (5) d d 2 2 = + − + + x y y y x y x x y y 提示: 为全微分方程 , 通解 (9) ( 3 ) d d 0 4 2 y − x y + xy x = 提示: 可化为贝努里方程 令 2 z = x 微分倒推公式