《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第5章 相似矩阵与二次型_5.3 相似矩阵

5.3 相似矩阵

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·相似矩阵及其性质 ·方阵可对角化的条件

• 相似矩阵及其性质 • 方阵可对角化的条件

一、 相似矩阵及其性质 定义5.3.1设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP =B, 则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似： 运算P-1AP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相以变换矩阵 ·方阵的相似是一种等价关系，具有 自反性、对称性和传递性

一、相似矩阵及其性质

一、相似矩阵及其性质 定理5.3.1相似矩阵有相同的特征多项式 。 逆命题不成立 推论1相似矩阵有相同的特征值， 推论2 相似矩阵有相同的迹与行列式 推论3 若A与对角矩阵 2 相似，则21,2，.，入n是A的n个特征值

一、相似矩阵及其性质

二、方阵可对角化的条件 定义如果方阵A与对角矩阵相似，则称A可对角化， 定理5.3.2n阶方阵可对角化的充要条件是A有n个 线性无关的特征向量. 若A可对角化，即P-1AP=个，则A主对角线上的 元素都是A的特征值，而P的列向量就是相对应的 特征值的特征向量， 推论如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A 可对角化

二、方阵可对角化的条件

4 6 0 例1判定矩阵A= -5 0是否可对角化？ 3 -6 若可对角化，求相似变换矩阵P及对角矩阵∧. 2若A=(313),求A 例3若A的特征值为1，-1,2，求A*+3A-2E1

0內 例4若A= 0 相似，求a,b. 2 相似，求x,y

例6已知方阵A的特征值是)1=0，λ2=1,3=3， 相对应的特征向量是 -(a-(3) 求矩阵A

。7 相似矩阵及其性质 ·方阵可对角化的条件

• 相似矩阵及其性质 • 方阵可对角化的条件

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