《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第2章 矩阵与向量_2.4 矩阵的秩

2.4 矩阵的秩

LOGO 2.4 矩阵的秩

·矩阵的秩及其计算 ·向量组的秩及其极大线性无关组的计算

• 矩阵的秩及其计算 • 向量组的秩及其极大线性无关组的计算

一、} 矩阵的秩及其计算 011 012 ain Q1 。 2 A= Q21 C22 02m : 行向量组 ami am2 amn. am B Bi βn 列向量组 定义2.4.1矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩； 列向量组的秩称为矩阵A的列秩

一、矩阵的秩及其计算

一、矩阵的秩及其计算 1 1 3 1 例1求矩阵A= 0 2 2 4 的行秩和列秩 0 0 0 5 0 0 0 0 定理2.4.3 矩阵的行秩与列秩相等」

定理2.4.3 矩阵的行秩与列秩相等. 一、矩阵的秩及其计算

一、 矩阵的秩及其计算 定义2.4.2矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩， ·矩阵A的秩为r,记作R(A)=r. ·如果A是m×n矩阵，则0≤R(A)≤min{m,n}. ·R(A)=0的充分必要条件是A=0.(所有元素都是0的矩阵) 如果A是n×n矩阵，且R(A)=n,则称A是满秩的， R(A)=n台A的行（列）向量组线性无关台|A≠0. R(A)<n台A的行（列）向量组线性相关台|A=0

一、矩阵的秩及其计算

一、矩阵的秩及其计算 定义在一个m×n矩阵A中任意选定k行和k列 (1≤k≤min{m,n),位于交点处的元素按原来的 位置所构成的k级行列式，称为A的一个k级子式： m×n矩阵的k级子式共有CkCk个. ·矩阵A的每一个元素都是A的1级子式： ·n级方阵A的n级子式就是A

一、矩阵的秩及其计算

一、矩阵的秩及其计算 定理 矩阵A的秩为r的充分必要条件是A有一个r级 子式不为零，而所有的r+1级子式（如果还有的话）全 为零 ·秩为r的矩阵可能会有等于零的r级子式，但不能 所有的r级子式都为零. 如果矩阵A的r+1级子式全为零，那么它的r+2 级子式也全为零 矩阵的秩是不为零的子式的最高阶数

一、矩阵的秩及其计算

一、矩阵的秩及其计算 定理矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 证明 设矩阵A的行向量组为Q1,2,.,Qm, 作一次初等行变 换 01 A= k1+2 am 则向量组a1,2,.,am与a1,ka1+a&2,.,am等价，从而有相 同的秩，即矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，当然也不 改变矩阵的秩，同样初等列变换也不改变矩阵的秩：

一、矩阵的秩及其计算

矩阵的秩及其计算 定理 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数. 证明 设阶梯形矩阵 011 Q12 r 01m 0 022 a2r 02n A= 0 0 arr arn 0 0 0 0 : 0 0 0 0 其中a≠0.i=1,2,.,r.显然A有一个r级子式不为 零，而所有的r+1级子式全为零，所以A的秩为r

一、矩阵的秩及其计算

一、矩阵的秩及其计算 定理 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数 011 a12 . air ain 0 C22 02r a2n : A= 0 0 arr arn 0 0 0 0 0 0 0 0 ·阶梯形矩阵的非零行就是它行向量组的一个极大线性无关组： 而每一行的首非零元所在的列就是它的列向量组的一个极大线 性无关组

一、矩阵的秩及其计算