《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第5章 相似矩阵与二次型_5.4 实对称矩阵的相似对角形

5.4实对称矩阵的相似对角形

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引理5.4.1 实对称矩阵的特征值是实数， 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是 正交的： 引理5.4.3设A为n阶对称矩阵，λ是A的r重特征值， 则矩阵A-λE的秩为n一r,从而对应特征值恰有r 个线性无关的特征向量

引理5.4.1 实对称矩阵的特征值是实数. 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是 正交的. 引理5.4.3 设𝐴为𝑛阶对称矩阵，𝜆是𝐴的𝑟重特征值， 则矩阵𝐴 − 𝜆𝐸的秩为𝑛 − 𝑟，从而对应特征值𝜆恰有𝑟 个线性无关的特征向量

定理5.4.1（实对称矩阵基本定理） 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P-1AP=PTAP=A, 其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵

定理5.4.1(实对称矩阵基本定理) 设𝐴是𝑛阶实对称矩阵，则必有正交矩阵𝑃，使 𝑃 −1𝐴𝑃 = 𝑃 𝑇𝐴𝑃 = Λ, 其中Λ是以𝐴的𝑛个特征值为对角元素的对角矩阵

例1设 - -4 -4 5 求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵 1 2 4 0 例2A= 23 03 例3A= 4 2 3 0 0 6/

例1 设 𝐴 = 2 2 −2 2 5 −4 −2 −4 5 求正交矩阵𝑃，使𝑃 −1𝐴𝑃为对角矩阵. 例3 𝐴 = 2 4 0 4 2 0 0 0 6 例2 𝐴 = 1 2 3 2 1 3 3 3 6

例41 已知实对称矩阵A的三个特征值为入1=2， λ2=13=1，且对应于λ2,3的特征向量为 -(-( (1)求A的对应于λ1=2的特征向量； (2)求矩阵A

例4 已知实对称矩阵𝐴的三个特征值为𝜆1 = 2, 𝜆2 = 𝜆3 = 1，且对应于𝜆2，𝜆3的特征向量为 𝑝2 = 1 1 −1 , 𝑝3 = 2 3 −3 (1) 求𝐴的对应于𝜆1 = 2的特征向量； (2) 求矩阵𝐴

主要结论 定理5.4.1（实对称矩阵基本定理） 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P-1AP=PTAP=A, 其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵， 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是 正交的

定理5.4.1(实对称矩阵基本定理) 设𝐴是𝑛阶实对称矩阵，则必有正交矩阵𝑃，使 𝑃 −1𝐴𝑃 = 𝑃 𝑇𝐴𝑃 = Λ, 其中Λ是以𝐴的𝑛个特征值为对角元素的对角矩阵. 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是 正交的 主要结论

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