《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章习题课

第四章习题课 一、求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的函数的积分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、几种特殊类型的函数的积分 一、求不定积分的基本方法 第四章习题课

主计 苏本草 主要内容 原函数 不定积分 选择有效方 分部 直接 积分法 积分法 积分法 本积分 第一换元法 几种特殊类型 第二换元法 函数的积分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 主要内容

一、求不定积分的基本方法 1.直接积分法 通过简单变形，利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 2.换元积分法 第一类换元法 ∫f(x)dr 「f[p()]p't)d 第二类换元法 (代换：x=p(t) (注意常见的换元积分类型)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) x =(t)

主讲人：苏本堂 3.分部积分法 ∫uv'dr=uv-∫vd 使用原则： 1)由y'易求出v; 2)∫t'vdr比∫uv'dr好求 一般经验：按“反，对，幂，指，三”的顺 序， 排前者取为，排后者取为v'. 计算格式：列表计算

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3. 分部积分法  = −  u v dx u v 使用原则: 1) 由 v  易求出 v ; 2)  u  v dx 比 好求 . 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v  . 计算格式: 列表计算  u  vdx

例1.求 23 -dx. dax=ax Inadx 器 arctan(号)' +C In2-In3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求 解: 原式 x x x x x d 3 2 2 3  2 2 + = x x x d 1 ( ) ( ) 2 3 2 3 2  + =  + = x x 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) d ( ) ln 1 a a a x x x d = ln d C x + − = ln 2 ln3 arctan( ) 3 2

主讲 方本堂 2计红∫ 计算+csx 例3 x+sinx 解：原式=∫4+m)=hx+snx+C x+sin x 4 解原式=水+小 x dx si cot+1-cosxl+C 1 22

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 dx a x x  − 6 6 2 计算 3 3 2 3 2 ( ) ( ) 1 3 1 dx x a  − = − 例2 解:原式 C x a x a a + + − = − 3 3 3 3 3 ln 6 1  + + = x x d x x sin ( sin ) 例3  + + dx x x x sin 1 cos 计算 解:原式 = ln | x + sin x | +C 例4 dx x x  − + 1 cos 1 sin 解:原式 dx x x dx x   − + − = 1 cos sin 1 cos 1   − − = + x d x dx x 1 cos (1 cos ) 2 csc 2 1 2 x C x = + ln |1− cos | + 2 cot 2 1

例5.求血r+1+r)+5dr V1+x2 解： 原式=J[In(x+N1+x2)+5]d[ln(x+1+x2)+5] 3Inx+1+)+5]+C 分析： d[ln(x+V1+x2)+5]= 2d (1+ 2x dx x+V1+x2 V1+x2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 求 解:  = + + + 2 1 [ln( 1 ) 5] 2 原式 x x d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x + 2 x + 1+ x = x x x (1 )d 2 2 1 2 + + 2 1 d x x + =  3 2 = ln( 1 ) 5 2 x + + x +  2 +C 3 分析: d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x +

等数学 主讲 苏本堂 例6.求 cx+sinx dx. 1+co 解：原式=∫ +2sn方co2dxxdtan2+jan 2cos2 2 =xtan+C 2 例7.求 redx. 解：原式-打rde)eed Ixe-Ie*+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例6. 求 解 : 原式 x x x x x d 2 2cos 2 cos 2 2sin 2  + =  = 2 d tan x x x x d 2 tan  + C x = x + 2 tan 例7. 求 解 : 原式

东液风 例8.求 ex 解：原式=-∫arctanede =gae-jp‘2 =-wane+fre2e产dr 1+e2.x =-e*arctane*+x -In(1+e2x)+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例8. 求 解:  = − x 原式 arctan e x e − d x x e arctan e − = −  − + x e x e e x x d 1 2 + x x e arctan e − = − x e e e x x x d 1 (1 ) 2 2 2  + + − + x x e arctan e − = − + x e C x − ln(1+ ) + 2 2 1

等数学 主讲 苏本堂 例9.求 -dx. 解：（一）令x-tant 原式=jxt-jam1c =se1-l)secd=jsec1t-jed setastan c

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例9. 求 解: (一) 令 x=tant 原式 1 x 1 2 x + t