《线性代数》课程步进教程（C）第一章 行列式（同步训练）

第一章行列式 同步训练与提示答案 1.填空题 0 -a b (1) 0 -b c o 2222 (2)设D= eπ2033 43 则A1+A2+A3+A4= 1994341 10013 0 0 0072 0 (3) 00-1 4 4 21 33 号 942 1 -9 (4)设方程 xx2. x"-1 a a .a ? a. a =0 . an-1a.a 其中a,(=12,n-)互不相等，则方程的全部解为 (5)设 12345 55533 4=32542 22211 46523 则A31+A2+A3=；A4+A5=; A1+A2+A3+A4+A35=: (6)设

第一章 行列式 同步训练与提示答案 1. 填空题 （1） _ 0 0 0     b c a c a b ； （2） 设 1 99 43 41 4 3 7 2 20 33 2 2 2 2 e  D  , 则 A31  A32  A33  A34  _ ； （3） _ 9 4 2 1 9 2 1 22 33 43 0 0 1 4 4 0 0 7 2 0 0 0 13 0 0    ； （4）设方程 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1         n n n n n n n a a a a a a a a a x x x          其中 a i 1,2, ,n 1 i  互不相等，则方程的全部解为 _ ； （5）设 4 6 5 2 3 2 2 2 1 1 3 2 5 4 2 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 A  则 A31  A32  A33  _ ； A34  A35  _ ； A3 1  A3 2  A3 3  A3 4  A3 5  _； （6）设

4=11264 03415 21223 则341+2A2+4A+844+7As= 2.选择题 (1)n阶行列式A非零的充要条件是 (a)A的所有元素非零； (b)A至少有n个元素非零； (c)A的任意两列元素之间不成比例： (d)以A为系数行列式的线性方程组有唯一解： (2)设4为4阶行列式4=-3，则44= (a)3(6)-35(c)53(d)-53 011 101 (3) 110 1110 (a)-1(b)1(c)-3(d)3 x yy ④少x= yy x (a)(x-y: (b)(x+2yx+y}: (c)(x+2yx-y2; (d)(x-2yx+y 00010 0020 0 (5)D=031000= 4110120 98765 (a)2: (b)5: (c)7: (d)120

2 1 2 2 3 0 3 4 1 5 1 1 2 6 4 1 3 1 8 7 1 2 0 4 1  A  则 3A1 1  2A1 2  4A1 3 8A1 4  7A1 5  _ ； 2. 选择题 (1) n 阶行列式 A 非零的充要条件是 _ ； （a） A 的所有元素非零； （b） A 至少有 n 个元素非零； （c） A 的任意两列元素之间不成比例； （d）以 A 为系数行列式的线性方程组有唯一解； (2) 设 A 为 4 阶行列式 A  3 , 则 A A  _ ； （a） 5 3 (b) 5  3 (c) 3 5 (d) 3  5 (3) _ 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1  ； （a） -1 （b） 1 （c） -3 （d） 3 (4)  _ y y x y x y x y y ； （a）   3 x  y ； （b）    2 x  2y x  y ； （c）    2 x  2y x  y ； （d）    2 x  2y x  y (5) _ 9 8 7 6 5 4 11 0 12 0 0 3 10 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 D   ； （a）2； （b）5； （c）7； （d）120

0a00 (6) b c oo 00 d e 000f八 (a)abcdef (b)-abdf;(c)abdf:(d)cdf 3.计算与证明 (1)计算行列式 a2+1 ap ay D=aB B2+1 By ay By y+1 (2)计算行列式 1111 b:a (3)计算行列式 a:a2000 a31a2100 a41a4010 (4)计算行列式 a a a +b a az+ba as a as+b; (5)设 x y 10 010 00 求x,. (6)解方程组

(6) _ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  f d e b c a ； （a） abcdef ； （b） abdf ； （c） abdf ； （d） cdf ； 3．计算与证明 （1）计算行列式 1 1 1 2 2 2              D . （2）计算行列式 3 3 3 1 1 1 a b c a b c . （3）计算行列式 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 3 4 4 4 1 4 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 1 1 2 a a a a a a a a a a . （4）计算行列式 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 a a a b a a b a a b a a a a a    . （5）设 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1  z y x x y z ， 求 x, y,z . （6）解方程组

[x+y+=1 ax+by+c=d a'x+b-y+c2:=d2 其中a,b,c为不同的数。 (7)k为何时，方程组 x+y+:=k红 4x+3y+2:=y x+2y+3z=kx 有非零解， (8)用归纳法证明：当a≠b时， a+b ab 0 0 0 1a+bab.0 D,= 01a+b. 0 0 . a-b 0 0 0.a+Bab 00 0.1a+B (9)设a,b,c,d互不相等，证明 1111 -3884 0 a b c3d 的充要条件为 a+b+c+d-0. (10)证明 by+a b=+ax bx+ay x y hx+wb+eb+am-+bx b=+ax bx+ay by+a v =x (11)求证 a11.1 1a0. D=10a2. =aa-2 100.a

              2 2 2 2 1 a x b y c z d ax by cz d x y z ， 其中 a,b,c 为不同的数. （7）k 为何时，方程组               x y z kx x y z ky x y z kz 2 3 4 3 2 有非零解. （8）用归纳法证明：当 a  b 时， a b a b a B a B ab a b a b ab a b ab D n n n          1 ! 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0            . （9）设 a,b,c,d 互不相等，证明 0 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2   a b c d a b c d a b c d D 的充要条件为 a  b  c  d  0. （10）证明   y z x z x y x y z a b bz ax bx ay by az bx ay by az bz ax by az bz ax bx ay 3 3            . （11）求证            n i i n n a a a a a a a a a D 1 2 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1          

第一章同步训练答案提示 1.(1)0:(2)0;(3)-104;(4)a1,a2,.a1(⑤)0,0,0；(6)0 2.(1)d(2)b:(3)c:(4)c:(5)d(6)b 3.(1)1+a2+B2+Y2;(2)(a+b+ca-ba-cc-b):(③)a41-a4z (4)bb,b:(⑤)x=0y=0,=0: 同8c-告-xc-8-8 (7)k=-1,0,6(8)提示：按第一列展开，用归纳法 (9)提示：D=(a-b(a-ca-d0b-cb-dc-d(a+b+c+d): (10)提示：拆开行列式： (1)提示：第2列，3列，.，n+1列分别乘-上-上加到第一列 a. 上

第一章同步训练答案提示 1． (1)0； (2)0； (3)-104； (4) 1 a , 2 a ,. an1 ； (5)0,0,0； (6)0 2． (1)d； (2)b； (3)c； (4)c； (5)d； (6)b 3．(1) 2 2 2 1    ； (2) (a bc)(a b)(a c)(c b) ； (3) a12a21  a11a22 ； (4) b1b2b3 ； (5) x  0, y  0,z  0 ； (6) ( )( ) ( )( ) , ( )( ) ( )( ) , ( )( ) ( )( ) c a c b d a d b z b a c b d a c d y b a c a b d c d x                (7) k  1,0,6 ； (8) 提示：按第一列展开，用归纳法； (9) 提示： D  (a b)(a c)(a d)(bc)(bd)(c d)(a bc  d) ； (10) 提示：拆开行列式； (11) 提示：第 2 列，3 列，.， n 1 列分别乘 1 2 1 , 1 a a   . n a 1  加到第一列 上