《线性代数》课程步进教程（C）第一章 行列式（典型例题）

第一章行列式 典型例题 例1-1求证 |00.0a 00.a-a D=. =4.a.an: am d2.aaa-laan 10.0 a2- 证明 D-C"a.o .a-2》a-l |0.0a-2 0.a4- =l←aac. a4-2 a.am-ann-》 =←1.(w()2aa-an =6la.ae-n.a 例1-2计算行列式 +1x+2.x+n D=店1+2.名+用 下n+1xn+2.x。+川 解当n=2时，D=x1-x2 当n>2时，将D的第一列乘以(-1)后加到其余各列 x+112.n- D5112n-0 . k.+112.m-

第一章 行列式 典型例题 例 1-1 求证         1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a D                ； 证明   1 ( 2) ( 1) 3( 2) 3( 1) 2( 1) 1 1 0 0 0 1         n n n n n n n n n n a a a a a a D a            1 ( 3) ( 2) 4( 3) 4( 2) 3( 2) 1 2( 1) 1 1 ( 1) 0 0 0 1 1               n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a        =.       1 2( 1) 1 1 1 ( 1) 1 2 1 1 1 n n n n n  a a  a             1 2( 1) 1 2 ( 1) 1 n n n n n a a  a    例 1-2 计算行列式 x x x n x x x n x x x n D n  n  n                1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 解 当 n  2 时， 1 2 D  x  x 当 n  2 时， 将 D 的第一列乘以 (-1) 后加到其余各列 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1         x n x n x n D n        

例1-3计算行列式 xa.a D=x.a aa.x 解各行都加到第一行，在从第一行中提出x+(n-1)a, 11.1 D=+m-lax.a . aa.x 将第一行乘-a分别加到其余各行，得 11.1 D=k+m-a0x-a.0 . 00.x-d =[x+(n-1)alx-a)"- 例1-4解方程 111. 1 11-x1. 1 112-x.1 =0 111.n-1-x 解该行列式展开后是关于x的一个n-1次多项式，至多有n-1 个实根，而x=0,12,n-2时，行列式为零，故x=01,2,n-2为方程 的全部根。 例1-5求解线性方程组 x+2x2-3+3x4=2 2x1-x2+3x3-2x4=7 3x2-x3+x4=6 x-2+x3+4x4=-4

例 1-3 计算行列式 a a x a x a x a a D         解 各行都加到第一行，在从第一行中提出 x  (n 1)a，   a a x a x a D x n a       1 1  1   ( 1) 将第一行乘 a 分别加到其余各行，得   x a a x a D x n a             0 0 0 1 1 1 ( 1)    1 ( 1)      n x n a x a 例 1-4 解方程 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1      n x x x          解 该行列式展开后是关于 x 的一个 n 1 次多项式，至多有 n 1 个实根，而 x  0,1,2,  ,n  2 时，行列式为零，故 x  0,1,2,  ,n  2 为方程 的全部根。 例 1-5 求解线性方程组                        4 4 3 6 2 3 2 7 2 3 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x

解D=-39≠0，故必有唯一解 又D=-39,D3=-117,D3=-78D4=39,故 x1=1x2=3x3=2,x4=-1 是方程组的解， 例1-6问1取何值时齐次线性方程组 [(1-2)x1-2x2+4x3=0 2x+(3-)x2+x3=0 +x2+1-)x3=0 有非零解」 解方程组的系数行列式为 1-2-24 D=23-11=6-2X2-2 111-为 令D=0,得2=0,12=2，=3. 于是，当1=0，或1=2，或1=3时，齐次线性方程组有非零解

解 D  39  0，故必有唯一解 又 D1  39,D2  117,D3  78,D4  39，故 x1 1, x2  3, x3  2, x4  1 是方程组的解. 例 1-6 问  取何值时齐次线性方程组                  (1 ) 0 2 (3 ) 0 (1 ) 2 4 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    有非零解. 解 方程组的系数行列式为       3 2 1 1 1 2 3 1 1 2 4        D  令 D =0,得 1  0,2  2,3  3. 于是，当   0 ，或   2 ，或   3 时，齐次线性方程组有非零解