《线性代数》课程电子教案（C）第一章 n阶行列式 1-3 行列式的计算

第1-3节 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 行列式的计算 重点： 行列式的计算 难点： 行列式的计算技巧. 教学目的要求： (1)熟练计算二、三、四阶行列式。 (2)会计算n阶行列式， 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第27页第6题(3)，(4)， 第28页第6题(6)，(8) 参考资料： 同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 1-3 节 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 行列式的计算. 重点： 行列式的计算. 难点： 行列式的计算技巧. 教学目的要求： （1）熟练计算二、三、四阶行列式. （2）会计算 n 阶行列式. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 27 页第 6 题（3），（4）， 第 28 页第 6 题（6），（8）， 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第三节行列式的计算 本节将筒单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列 式的方法 行列式的计算总的思路是降阶或化为三角行列式来计算， 一、低阶（其体阶数已知）行列式计算 例1计算行列式 112-13 D= 23-12 -1110 01-21 解法一：降阶 12-1312-13 b一1I-0+b-11-0?-0 -1110=0303 01-2101-21 -11-4-11-3 303=63 0 0 1-211 -2 0/ 法二：化为三角行列式 1 2 -13 12 -13 -2斯0 -11 -45+n0 -11 -4 D=-11 10=0 30 3 0 1-21 01-2 1 5+3 12-13 5 -13 -11 4+5 1 1 -4 9 = =18 00 3 0 1 3 0 0 -1- 0 0 6 例2计算行列式

第三节 行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列 式的方法. 行列式的计算总的思路是降阶或化为三角行列式来计算. 一、低阶（具体阶数已知）行列式计算 例 1 计算行列式 0 1 2 1 1 1 1 0 2 3 1 2 1 2 1 3     D  解 法一：降阶 2 2 1 r r D   0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 4 1 2 1 3      3 1 r r  0 1 2 1 0 3 0 3 0 1 1 4 1 2 1 3     = 1 2 1 3 0 3 1 1 4    C3 C1  3 1 2 0 3 0 0 1 1 3      18 2 0 1 3    . 法二：化为三角行列式 2 2 1 r r D   0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 4 1 2 1 3      3 1 r r  0 1 2 1 0 3 0 3 0 1 1 4 1 2 1 3     4 2 3 2 3 r r r r    0 0 1 - 3 0 0 3 - 9 0 1 1 4 1 2 1 3     4 3 3 3 1 r r r    18 0 0 0 - 6 0 0 1 - 3 0 1 1 4 1 2 1 3     例 2 计算行列式

a b c d D=a atb atbic a+b+c+d a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d r4-r3 a b c d aa+b a+b+c r3-r20 aa+b a+b+c 解D,20a2a+b3a+2b+ =aa 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c a 3a+b 6a+3b+c aa+b a+b+c r3-r2 0 a 2a+b =a a 2a+b =a4 0 a 3a+b a 3a+b 例3计算行列式 1+x 1 1 1 1 1- 1 D= 1 1 1+y 1 1 1 11- 111 1x000 D= 11-x1 1.11-x1 111+y1 +11+y1 1111-1111-y 1111 111-x1 0-x00 60y11-o +x11+y1+x01+y 000- 11-y =0y2-92-x20+y1-y)=y2-2+x2y2=-x2y2 以上三例都是利用行列式的性质，通过降阶或化为三角行列式来求解的， 降阶：利用行列式的性质将行列式某一行（列）只保存一个非零元素，然后 按照这一行（列）展开达到降阶.这是计算行列式常用的方法之一

a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D                    3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2 解 D 3 2 4 3 2 1 r r r r r r     a a b a b c a a b a b c a a b a b c a b c d          0 3 6 3 0 2 3 2 0 = a a b a b c a a b a b c a a b a b c a          3 6 3 2 3 2 3 2 2 1 r r r r    a a b a a b a a b a b c a      0 3 0 2 = a a b a a b a   3 2 2 = 4 a . 例 3 计算行列式 y y x x D      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解 y y x D     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y y x x     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 y y x    0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 y y x x y x y        0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2  xy  xy  x  y  y 2 2 2 2  xy  xy  x y 2 2  x y 以上三例都是利用行列式的性质，通过降阶或化为三角行列式来求解的. 降阶：利用行列式的性质将行列式某一行（列）只保存一个非零元素，然后 按照这一行（列）展开达到降阶.这是计算行列式常用的方法之一

化为三角行列式：利用行列式的性质将行列式主对角线下（上）方的元素全 化为零（即化为上（下）三角行列式)，行列式的值为主对角线上元素的连乘积 由于此化简过程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶行列式 的值 x31 1-x1-y1- 例4设少0 求D=413 21 111 解 134 11 x y =x 3 1 _302 y01=-1 111z21 例5设多项式 1123 12-x223 fx)=2315 319-x2 试求∫x)=0的根 解（法一） 1123 100 0 12-x22 f(x)= 3 11-x2 0 0 315 2 1 -3 -1 3 19-x2 2 1 -33-x2 00 0 20 0 1 -30 =-3(1-x2)(4-x2), 1-34-x2

化为三角行列式：利用行列式的性质将行列式主对角线下（上）方的元素全 化为零（即化为上（下）三角行列式），行列式的值为主对角线上元素的连乘积. 由于此化简过程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶行列式 的值. 例 4 设 2 1 0 1 3 1 z y x =1， 求 1 1 1 4 1 3 1 x 1 y 1 z D     解 D = 1 1 1 4 1 3 1 1 1 + 1 1 1 4 1 3  x  y  z = 1 1 1 4 1 3  x  y  z 2 3 r r  - 1 1 1 3 0 2 x y z 1 2 1 0 1 3 1     z y x . 例 5 设多项式 f (x）= 2 2 2 3 1 9 2 3 1 5 1 2 2 3 1 1 2 3 x x   . 试求 f (x） 0 的根. 解 （法一） 2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 ( ) 2 3 1 5 2 3 1 9 x f x x    3 1 2 1 4 1 2 3 c c c c c c     2 2 2 1 3 3 2 1 3 1 1 1 0 0 1 0 0 0 x x      4 3 3 1 c  c  2 2 2 1 3 4 2 1 3 0 1 1 0 0 1 0 0 0 x x     =-3（1- 2 x ）（4- 2 x ）

由fx)=0的根为x=-1,x2=1x=-2,x=2. (法二)有性质2推论3知，当2-x21或9x2=5时，x)=0.故 x=-l52=1x=-2x=2 为f(x)=0的根.由于f(x)为x的4次多项式，因此，f(x)=0至多有4个根.因 此，fx)=0有4个根 二、高阶行列式的计算 n阶行列式的计算除了利用行列式的展开定理和性质外，有些问题需要递推 公式或利用数学归纳法解决 例6计算行列式 x aa . a x a D. aaa. 解行列式D,的特点是每一行的n个元素之和相等，均为x+(n-I)a.因此 将行列式D的第二列、第三列、.、第n列都加到第一列上，再从第一列中提取 公因子x+(n-1)a,则有 laa.aa 1xa.aa D.=Ix+(n-lal. laa.xa laa.a刘 l1aa. a a 0x-a0. 0 0 e2a-ln【x+(n-l1)a . 000.x-a0 000.0x-a

由 f x( ) 0  的根为 1 2 3 4 x x x x       1, 1, 2, 2. （法二） 有性质 2 推论 3 知，当 2- 2 x =1 或 9- 2 x =5 时， f x( ) 0  .故 1 2 3 4 x x x x       1, 1, 2, 2 为 f x( ) 0  的根.由于 f x( ) 为 x 的 4 次多项式，因此， f x( ) 0  至多有 4 个根.因 此， f x( ) 0  有 4 个根. 二、高阶行列式的计算 n 阶行列式的计算除了利用行列式的展开定理和性质外，有些问题需要递推 公式或利用数学归纳法解决. 例 6 计算行列式 Dn = a a a x a x a a x a a a . . . . . . . . . 解 行列式 Dn 的特点是每一行的 n 个元素之和相等，均为 x  (n 1)a .因此 将行列式 D 的第二列、第三列、.、第 n 列都加到第一列上，再从第一列中提取 公因子 x  (n 1)a ，则有 Dn =x n a  ( -1)  a a a x a a x a x a a a a a a a 1 . 1 . . . . . . . 1 . 1 . 1 ( 2,3,., 1, ) r r k n n k     x n a  ( -1)  x a x a x a a a a a    0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 . . . . . . 0 0 . 0 0 1

10 0. 0 0 0x-a0. 0 0 =[x+(n-1)a] 00x-a0 000.0x-d =(x-a)"-1[x+(n-1)a 例7计算行列式 a0.00.0b 0a.00.b0 . 00. a b.00 D2n00. cd. 00 . c 00 .d0 0 00. 解将D2n按第一行展开 a 0 0 0 b 0 0 0 b 00 D,=a0 0 d 0 0 . 0 0 0 d 0 0 0 0 0 a 00. 0 b . 00 a 0 0 +-1200 d 0 0/ . 0 0 0 00 0 0 0

=x n a  ( -1)  x a x a x a    0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 . . . . . . 0 0 . 0 0 1 0 0 . 0 0 = 1 ( )   n x a x n a  ( -1)  例 7 计算行列式 D2n = c d c d c d a b a b a b 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 . . . . . . . . 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 . . . . . . . . 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 解 将 D2n 按第一行展开 0 . 0 0 . 0 . . . . . . . . 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 . . . . . . . . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 0 . 0 n a b a b D a c d c d d  + 2 1 ( 1) n b   0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 0 . 0 0 . . . . . . . . 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 . . . . . . . . 0 . 0 0 . 0 c c c d a b a b

=ad-1)2-2D2n-2+bc(-12m(-l*2mDn-2=(ad-bc)D2n-2 即 D2=(ad-bc)Dxm. 所以 D2=(ad-be)D(D =(ad-be)Da2) =.=(ad-bc)"-D, =(ad-be)a b le d(ad-be) 例8计算行列式（三平行线） 320.00 132.00 D.60032 . 000.13 解将D按第一列展开，得 320.00200.00 132.00132.00 D=3. 000.32000.32 000.13000.13 320.00 132.00 =3D1-2.=3D-2D2 000.32 000.13 D=3D1-2D-2 由此递推公式得

2 1 2 1 ( 1) n n ad      D2n2 2 1 1 2 1 ( 1) ( 1) n n bc       2 2 ( ) D ad bc n   D2n2 . 即 D2n = 2( 1) ( ) ad  bc D n . 所以 D2n  2( 1) ( ) ad  bc D n D2(n1) 2  (ad bc) D2(n2)  2 1 (ad bc) D n  c d a b ad bc n 1 ( )    n (ad  bc) . 例 8 计算行列式（三平行线） Dn = 0 0 0 . 1 3 0 0 0 . 3 2 . . . . . . 1 3 2 . 0 0 3 2 0 . 0 0 解 将 Dn 按第一列展开，得 Dn  3 0 0 0 . 1 3 0 0 0 . 3 2 . . . . . . 1 3 2 . 0 0 3 2 0 . 0 0 0 0 0 . 1 3 0 0 0 . 3 2 . . . . . . 1 3 2 . 0 0 2 0 0 . 0 0   3Dn1  2 0 0 0 . 1 3 0 0 0 . 3 2 . . . . . . 1 3 2 . 0 0 3 2 0 . 0 0  3Dn1  2 Dn2 . 即 Dn  3Dn1  2 Dn2 . 由此递推公式得

D-D=2D-D2=22 Dr2-D-3 ==2-2D2-D 32 =223=2 所以 Dn=2”+Dn1=2"+(2-+Dn2)=.=2”十2-1+十.十D =2”+2-+.十22+3=2”十2-十.十22十2+1=21-1 小结：例7与例8都属于高阶行列式，它们有共同特点：每行（或列）非 零元素比较少，可以直接展开进行降阶。 例9证明范德蒙(Vandermonde)行列式 11.1 D. =Πc-x) sj<isn xx.x 其中，记号“Π”表示(x-x,)的全体同类因子的乘积. 证用数学归纳法.因为 11 D所F-) 所以，当n=2时结论成立. 假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，下面证明对n阶范德蒙行列式结论 也成立。 为此，设法把Dn将从第n行开始，每一行减去前一行的x倍，得

Dn  Dn1  2Dn1  Dn2 2  2 Dn2  Dn3 2 2    ＝ n D2  D1 2 2 ＝ n （ 1 3 3 2 -3）= n 2 ， 所以 Dn n  2  Dn1 n  2 1 (2   n )  Dn2 n   ＝2 1 2 ＋ n ＋＋D1 n  2 1 2   n 2 3 ＋ 2＋ n ＝2 1 2 ＋ n 2 ＋＋2 2 1 2 1 ＋   n1－ 小结：例 7 与例 8 都属于高阶行列式，它们有共同特点：每行（或列）非 零元素比较少，可以直接展开进行降阶。 例 9 证明范德蒙（Vandermonde）行列式 Dn = 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 . . . . . . . 1 1 . 1   n n n n n n x x x x x x x x x =       j i n i j x x 1 ( ) ， 其中，记号“  ”表示 ( ) i j x  x 的全体同类因子的乘积. 证 用数学归纳法.因为 D2 = 1 2 1 1 x x = 2 1 x  x =      1 2 ( ) j i i j x x 所以，当 n =2 时结论成立. 假设对 n -1 阶范德蒙行列式结论成立，下面证明对 n 阶范德蒙行列式结论 也成立. 为此，设法把 Dn 将从第 n 行开始，每一行减去前一行的 1 x 倍，得

11 1 1 X2-X1 X-X1 D.= x2(x2-x). x(x-x) 0x22(x2-x).x-2(xn-x 按第一列展开，并分别提出每一列的公因子(x一x),得 11.1 X2X3.x Dn=(x2-x)(x-x).(-x) . 上式右端的行列式是-1阶范德蒙行列式，由归纳假设得 D。=3-x)s-xg-x)Π-x)=Πx-x) 总结：行列式计算题目很多，要学会总结归类，灵活掌握常见类型的计算方 法，达到举一反三的效果

Dn  0 ( ) . ( ) . . . . 0 ( ) . ( ) 0 . 1 1 . 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n         ， 按第一列展开，并分别提出每一列的公因子 （xi  x1） ，得 Dn ( ) 2 1  x  x (x3  x1 ) ( )1 x x i  2 2 3 2 2 2 3 . . . . . . 1 1 . 1   n n n n n x x x x x x . 上式右端的行列式是 n -1 阶范德蒙行列式，由归纳假设得 Dn ( ) 2 1  x  x (x3  x1 ) ( ) 1 x x i       j i n i j x x 2 ( )       j i n i j x x 1 ( ) . 总结：行列式计算题目很多，要学会总结归类，灵活掌握常见类型的计算方 法，达到举一反三的效果