《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-3 向量组的线性相关性

二章矩阵与向量 2.3 向量组的线性相关性 线性表示（组合) 二、 向量组的线性相关性 三、 线性相关性的判定 四、两向量组之间的关系 五、向量组的最大无关组 六、向量空间的基与向量坐标 七、小结

第二章 矩阵与向量 六、向量空间的基与向量坐标 二、向量组的线性相关性 一、线性表示（组合） §2.3 向量组的线性相关性 五、向量组的最大无关组 三、线性相关性的判定 四、两向量组之间的关系 七、小结

第二章矩阵与向量 一、线性表示（组合） 向量组维数相同的向量组成的集合称为向量组 定义1对于向量a和向量组1，%，0m,若存在m个 数1,2·，m,使得： a=1a%1+2ck+.+2mam 则称a是，2，nm的线性组合，1,2，.，2m称为组 合系数，或称向量a能用向量组a1,a,anm线性表示 显然，零向量是任意一组向量的线性组合

第二章 矩阵与向量 一、线性表示(组合) 定义1 对于向量和向量组1 ,2 ,., m , 若存在m个 数1 ,2 ,. ,m , 使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是 1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为组 合系数, 或称向量 能用向量组 1 ,2 ,.,m线性表示 . 显然，零向量是任意一组向量的线性组合 . 向量组 维数相同的向量组成的集合称为向量组

第二章矩阵与向量 例1设n维向量G=1,0,0),62=(0,1,0),.,6n=(0,0.,1) 称￡，2，n为n维单位坐标向量组 考虑任意一个n维向量&=(a,a2,an).由于 =a1e1+a2E2+.十anen 所以，x是E1,2,￡n的线性组合，也就是说任意一个 n维向量都可以由6，E2,￡n来线性表示

第二章 矩阵与向量 例1 设 维向量 ， ，.， 为 考虑任意一个 维向量 . 由于 的线性组合，也就是说任意一个 维向量都可以由 来线性表示. 维单位坐标向量组. 所以， 是 称

第之章矩阵与向量 例2证明向量x=(0,4,2)是向量0=(1,2,3)，2=(23,1) a=(3,1,2)的线性组合，并将c用a1,x2,a,线性表示。 解：先假定a=九C1+2Q2+3?即 (0,4,2)=2(1,2,3)+2(2,3,1)+23(3,1,2) =(2,+2九2+323,2元1+3九2+九3,321+九2+223) 因此 元1+2元2+33=0， 221+322+元3=4， 321+22+223=2

第二章 矩阵与向量 1 2 3 (0, 4, 2)   (1, 2, 3)   (2, 3,1)   (3,1, 2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3  (  2  3 , 2  3   , 3    2 ) 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.                        解：先假定   11  22  33，即 例2 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示

第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 23 1 =-18≠0， 3 12 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 九1=1，九2=1，九3=-1 于是，a可表示为a=a1+a2-x3

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2    由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3   1,   1,    1 于是， 可表示为    1   2   3

第二章矩阵与向量 与必1，cm关系有下列三种情形： 10a可由a%,0m的线性表示且表示式唯一； 20a可由，2，心m的线性表示，但表示式不唯一； 30a不能由a,2,0m的线性表示。 对于n元线性方程组 4X1+a12x2+.+a1mxn=b1 021X1+0222+.+02nXn=b2 (8) ●●●●●●● amix+am2x2+.+amnxn=bm

第二章 矩阵与向量 与1 ,2 ,., m关系有下列三种情形： 1 0  可由1 ,2 ,.,m的线性表示且表示式唯一； 2 0  可由1 ,2 ,.,m的线性表示, 但表示式不唯一； 3 0  不能由1 ,2 ,.,m的线性表示. 对于n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . (8) . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                 

第二章矩阵与向量 若以o,表示第个未知量的系数构成的m维列 向量，B表示常数项构成的向量，即 02j b2 aj= j=1,2,.,n B= 那么，方程组（⑧）可以表示为 x a+x2a2+.+x a=B (8)

第二章 矩阵与向量 若以j 表示第 j个未知量的系数构成的m维列 向量，β表示常数项构成的向量，即 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a            那么，方程组(8)可以表示为 1 1 2 2 n n x   x     x    1 2 m b b b          (8)

第之章矩阵与向量 于是，方程组（⑧）是否有解的问题就转化为向量B是否 可由向量租a1,2,线性表示问题。 当B能由向量a1,2,am线性表示时，方程组(8)有解； 当B能由向量a%1,2,Cnm线性表示且表达式唯一时， 方程组（⑧）的解唯一； 当B能由向量C%1,0m线性表示，但表达式不唯 一时，方程组(8)的解不唯一； 当β不能由向量%1,2，am线性表示时，方程组(8)无解

第二章 矩阵与向量 于是, 方程组(8)是否有解的问题就转化为向量 是否 可由向量租1 ,2 ,., m线性表示问题. 当  不能由向量1 ,2 ,., m线性表示时, 方程组(8)无解. 当  能由向量1 ,2 ,., m线性表示时,方程组(8)有解； 当  能由向量1 ,2 ,., m线性表示且表达式唯一时, 方程组(8)的解唯一； 当  能由向量1 ,2 ,., m线性表示，但表达式不唯 一时,方程组(8)的解不唯一；

第二章矩阵与向量 二、向量组的线性相关性 定义2设n维向量组 0%1)03,y0m’ 如果存在个不全为0的数k1,k2,.,km使得 k1&1+k2C2+.+kmOm=0 则称向量组1，0m线性相关，否则称它们是线性无关. 注：%，2，Cm线性无关，就是 k1a1+k22+.+km0m=0←> k1=k2=.=km=0

第二章 矩阵与向量 定义2 设n维向量组 1 , 2 ,., m ， 如果存在m个不全为 0 的数k1 , k2 , . , km, 使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注：1 ,2 ,.,m线性无关, 就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们是线性无关. 二、向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量 根据线性相关无关的定义，可得到下面结论： ()只含有一个向量α的向量组线性相关的充要条件 是a=0; (2)含有两个向量1,2的向量组，它们线性相关的 充要条件为它们的对应分量成比例，反之也成立； (3)含有零向量的向量组必线性相关 (4)如果向量组41,2，anm中有某两个向量4=0（切 或成比例，那么向量组线性相关；

第二章 矩阵与向量 根据线性相关无关的定义，可得到下面结论: (1) 只含有一个向量 的向量组线性相关的充要条件 是 = 0; (2) 含有两个向量1 ,2 的向量组, 它们线性相关的 充要条件为它们的对应分量成比例，反之也成立 ; (3)含有零向量的向量组必线性相关. (4) 如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i =j(i≠j) 或成比例, 那么向量组线性相关 ;