《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列秩及秩 二、 向量组的极大无关组 >三、k阶子式 四、小结

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩及秩 二、 向量组的极大无关组

第二章矩阵与向量 一、矩阵的行（列）秩及秩 定义1 设mX矩阵A, A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩， A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩

第二章 矩阵与向量 定义1 设m×n矩阵A， A 的行向量组的秩称为矩阵A的行秩， A 的列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩及秩

第二章矩阵与向量 1 01 例1求矩阵A= 0 的行秩与列秩。 2 1 解A的行向量a1=(1,0,1),a2=(0,1,2),a3=(2,1,4) 101 由于行列式 012=0 所以，向量组 214 1,02,03线性相关.又01,2线性无关，所以C1,02 是A的行向量组的最大无关组，因此，A的行秩为2. 同理可求，A的列秩也为2.由此知A的行秩、列秩相等

第二章 矩阵与向量 1 2 3 解 A的行向量  (1, 0,1),  (0,1, 2),  (2,1, 4) 例1 求矩阵        2 1 4 0 1 2 1 0 1 A 的行秩与列秩. 由于行列式 0 2 1 4 0 1 2 1 0 1  所以, 向量组 1 2 3  , , 线性相关. 又 1 2  , 线性无关, 所以 1 2  , 是A的行向量组的最大无关组, 因此, A的行秩为 2. 同理可求, A的列秩也为 2. 由此知A的行秩、列秩相等

第之章矩阵与向量 1131 例2求矩阵A= 02 -1 4的行秩和列秩 00 05 解 A的行向量，=(1,1,3,1)，&2=(0,2，-1,4)， a3=(0,0,0,5). 去掉第三个分量的a=(1,1,1),2=(0,2,4), a3=(0,0,5). 111 由行列式024=10≠0知，向量组1,02,0线性无关。 005 所以，向量组a,a2,a也线性无关，因此4的行秩为3

第二章 矩阵与向量 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A        的行向量 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A         例 求矩阵 的行秩和列秩 解 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5).          去掉第三个分量的 由行列式 10 0 0 0 5 0 2 4 1 1 1   知，向量组 '3 '2 '1  , , 线性无关. 所以，向量组 1 2 3  , , 也线性无关，因此A的行秩为 3

第二章矩阵与向量 17 3 1 A的列向量组B,= 0 B2= 月4= 0 45 由于4个三维向量必线性相关，而由P1,2,B构成 的行列式 1 2 0 =10≠0 4 5 所以，A的列秩也等于3. 由此知，矩阵A的行秩、列秩相等

第二章 矩阵与向量 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                                                  的列向量组 由于4个三维向量必线性相关，而由β1, β2, β4构成 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5   的行列式 所以, A的列秩也等于3. 由此知，矩阵A 的行秩、列秩相等

第二章矩阵与向量 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩，并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理 定理1初等行（列变换不改变矩阵的行（列秩， 证只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩 即可 定理2初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间的线 性关系。 为了弄清定理2的含义，我们来看下面题目

第二章 矩阵与向量 例 1 和例 2 中矩阵的行秩等于列秩，并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 定理2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的线 性关系. 证 只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩 即可. 为了弄清定理2的含义，我们来看下面题目

第二章矩阵与向量 0 例3设矩阵A= 0 2 -1 5 其列向量满足 6 0 2 4 1,2,3,4间有线性关系：04=a1+202-a3 解对矩阵A作如下初等行变换： 「1 1 3 01 「1 1 3 07 3-6 53+32 A 0 2 -1 5 0 2 -1 5 10 -6-16 4 00-1919 1 07 「1 10 3 19 r-35 0 2 -1 5 0 2 0 0 0 1 -1 0 0 1

第二章 矩阵与向量 例3 设矩阵         6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A 其列向量满足 1 2 3 4  , , , 间有线性关系： 4 1 2 3     2  对矩阵A作如下初等行变换：                    0 0 19 19 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 0 6 16 4 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 3 6 1 3 3 2 r r r r A                    0 0 1 1 0 2 0 4 1 1 0 3 ~ 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 31 2 3 3 3 ) 19 1 ( r r r r r 解

第二章矩阵与向量 103 100 1 - 010 2 0 10 2 =B 001-1001-1 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到的. 易验证B的列向量B,B2,P,B间亦有线性关系： B4=B1+2B2-B3 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到 的矩阵的列向量间同样存在上述线性关系。 由定理2，可得 推论1初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩 由此可得下面定理

第二章 矩阵与向量 B r r r                  0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 ~ 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 3 ~ 1 2 2 2 1 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到的. 易验证B的列向量 1 ,  2 ,  3 ,  4 间亦有线性关系：  4  1  2 2   3 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到 的矩阵的列向量间同样存在上述线性关系. 由定理2，可得 推论1 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩. 由此可得下面定理

第二章矩阵与向量 定理3矩阵的行秩等于列秩 证由于m×矩阵A总可以经过有限次初等变换化为标 准形 0 0 0 0 0 1 0 0 0 I= 0 0 1 0 0 第r行 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 第r列 矩阵I的行、列秩等于r.由上面知，对A进行初等行、列 变换，它的行秩、列秩都不改变，所以A的行、列秩都应 等于，即A的行秩等于列秩

第二章 矩阵与向量 定理3 矩阵的行秩等于列秩. 证 由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化为标 准形 第 行 第 列 I r r                                0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 矩阵I 的行、列秩等于r . 由上面知，对A进行初等行、列 变换，它的行秩、列秩都不改变，所以A的行、列秩都应 等于r,即A的行秩等于列秩

第二章矩阵与向量 定义2矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A. 对于mxn矩阵A,显然R(A)满足条件： 0≤R(A)≤min{m,n} 若A为n阶方阵，且R(A)=n,则称A为满秩矩阵， 由以上定理及定义2，即得 推论若矩阵A~B,则R(A)=R(B)

第二章 矩阵与向量 定义2 矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A). 推论 若矩阵A ~ B，则R( A)  R(B). 对于 矩阵A，显然 满足条件： 0  R(A)  min{m, n} 若A为n阶方阵，且 R (A )  n，则称A为满秩矩阵. 由以上定理及定义2, 即得