《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第三章 矩阵的运算 3-2 逆矩阵

第三章矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 概念的引入 二、 逆矩阵概念与性质 三、例题

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵概念与性质 三、例题

第三章矩阵的运算 概念的引入 在数的运算中，当数a≠0时，有 a1=a-1a=1, rl就是a的倒数或逆 在矩阵的运算中，单位阵E起着与数中1类似的作 用，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,使得 AB=BA=E 则矩阵B称为A的逆矩阵，或称A是可逆矩阵

第三章 矩阵的运算 1, 1 1     aa a a 在数的运算中，当数a  0时， 有 在矩阵的运算中,单位阵E起着与数中1类似的作 用, 那么, 对于矩阵A，如果存在一个矩阵B, 使得 一、概念的引入 a -1 就是a的倒数或逆. 则矩阵B称为A的逆矩阵，或称A是可逆矩阵. AB = BA = E

第三章矩阵的运算 二、逆矩阵的概念与性质 定义1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B, 使得 AB=BA=E 则称A是可逆的，并称B为A的逆矩阵 4[引=[3习 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义1 设A是一个n阶方阵, 若存在n阶方阵B, 使得 AB = BA = E 二、逆矩阵的概念与性质 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B                例如 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵. 则称A是可逆的, 并称B为A的逆矩阵

第三章矩阵的运算 结论若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证设B和C都是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以，A的逆矩阵是唯一的，记作A1 矩阵A在什么条件下可逆？若A可逆，则其逆 矩阵是什么？

第三章 矩阵的运算 结论 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的. 证 设B和C都是A的可逆矩阵，则有 AB  BA  E, AC  CA  E, 可得 B  EB  CAB  CAB  CE  C. 所以, A的逆矩阵是唯一的, 记作A-1 矩阵A在什么条件下可逆？若A可逆,则其逆 矩阵是什么？

第三章矩阵的运算 设 12 A= L21 l22 n2 nn 构造矩阵 A24 其中A是在A A"= A n2 中的代数余子式. A in A 称为A的伴随矩阵

第三章 矩阵的运算 构造矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A              称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a               其中Aij是aij在|A| 中的代数余子式

第三章矩阵的运算 由于 4n+:4归++4n=Ai=j 0i≠j a+- 可得 A0 0 0 0 AA=A'A= =AE 0 0 AA*=AA=AE 只要A0,就有A行4)=（行1=E

第三章 矩阵的运算 可得 * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A                 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j                     由于 1 * 1 * A 0 A( A ) ( A )A E A A 只要  ，就有   AA*=A*A=|A|E

第三章矩阵的运算 定理1（可逆的充分必要条件） n阶方阵4可逆A40.这时4 证明 "="(充分) 已证. "→"（必要） 若A可逆，则存在A,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=A‖A=E=1 所以A≠0

第三章 矩阵的运算 定理1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆 | A| 0. 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E   若 可逆，则存在 ，使得  两边取行列式, 得 1 1 | AA | | A || A | | E | 1      所以 | A| 0. . | | 1 1   A A 这时 A

第三章矩阵的运算 推论（充分条件）若A是阶矩阵，且存在阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵 证明 设AB=E,则 |AB=|A‖B=|E=1 所以A卡0，由定理1可知，A可逆 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(A-A)B=A(AB)=A-E=A- 同理可证，若BA=E,则B=A1

第三章 矩阵的运算 推论(充分条件) 若A是n阶矩阵, 且存在n阶矩阵B, 使 AB=E 或 BA=E 则A可逆, 且B为A的逆矩阵. 证明 设AB=E, 则 | AB || A || B || E | 1 所以| A | 0, 由定理1可知, A可逆. 设其逆矩阵为A-1 , 则有 B  EB  1 (A A)B  1 A (AB)   1 A E   同理可证，若BA=E，则 1 B A .   1 A  

第三章矩阵的运算 2 -1 例1判断A= 3 1 0 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 1-10-2 解由于A=9≠0，故A可逆，又 A1=-2,A21=4,A31=1, A12=6,A22=-3,A32=-3, A13=1,A23=-2,A33=-5, 于是 「-2 41 9 4-9 1-9 A1= 、6 3 2-3 A 13 -2 1-9 2-9 1-35 9

第三章 矩阵的运算 1 2 1 1 3 1 0 . 1 0 2 A          例 判断 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 解 由 于 A  9  0， 故 A 可逆，又 A11=-2， A21= 4， A31= 1， A12= 6， A22=-3， A32=-3, A13= 1， A23=-2 ， A33=-5 ， 于是 1 * 2 4 1 1 1 6 3 3 9 1 2 5 A A A                2 4 1 9 9 9 2 1 1 3 3 3 1 2 5 9 9 9           

第三章矩阵的运算 逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A,亦可逆，且 (A-1)-1=A,(A-1=(A-1)' (2)若A可逆，数元≠0，则九A可逆，且 )'= (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)-1=B-1A-I 利用矩阵可逆的充分条件验证即可

第三章 矩阵的运算 逆矩阵的性质   1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A           若 可逆 则 亦可逆 且     1 1 2 , 0, , 1 . A A A A         若 可逆 数 则 可逆 且   1 1 1 3 , , , ( ) A B AB AB B A     若 均 可 逆 则 亦 可 逆 且 利用矩阵可逆的充分条件验证即可