《线性代数》课程学习指导（C）第二章 矩阵与向量_同步训练

第二章矩阵与向量 同步训练 1.填空题 (1)已知向量组a1=(1,2,-1,),4=(20,10),4=(0,-4,5-2)的秩为2， 则t= (2)已知向量组a1=(1,2,3,4),a2=(2,3,4,5),4=(3,4,56),a=(4,5,6,7), 则该向量组的秩是」 (3)已知向量组a=(1,-1,2,4),42=(0,31,2),4=(3,0,7,14), a4=1-22,0),a,=(2,15,10)则该向量组的一个极大无关组是 (4)设4=0,1，)，a42=(1,2,3)，43=0,3,0,则= 时， a4,2,线性相关，t= 时，a1,a2,a线性无关 (5)向量组a,a2,a,a,线性无关，则向量组 C1-,C3-C3,C3-C4,C4- 线性 (6)设向量组I的秩为片向量组Ⅱ的秩为2，且I可由IⅡ线性表示， 则，5的关系是 (7)设a=(1,1),a2=(a,0b),a=(1,32),若a,a2,a线性相关，则 a,b满足关系式 (8)设 「ahah.ab. A= a,ha,b2.a,bn anha.b2.abn 其中a,≠0，b≠0，则R(A)=」 0E共4=61与86周风

第二章 矩阵与向量 同步训练 1.填空题 （1） 已知向量组 (1,2, 1,1) 1   , (2,0, ,0) 2   t , (0, 4,5, 2) 3    的秩为 2， 则 t =_. （2） 已知向量组 (1,2,3,4) 1  , (2,3,4,5)  2  ， (3,4,5,6) 3  , (4,5,6,7)  4  , 则该向量组的秩是_. （3） 已知向量组 (1, 1,2,4) 1   , (0,3,1,2)  2  ， (3,0,7,14) 3  ， (1, 2,2,0)  4   ， (2,1,5,10) 5  则该向量组的一个极大无关组是_. （4） 设 (1,1,1) 1  , (1,2,3)  2  ， (1,3, ) 3   t , 则 t=_时， 1 2 3  , , 线性相关，t =_时， 1 2 3  , , 线性无关 （5） 向量组 1 2 3 4  , , , 线性无关，则向量组 1 2 2 3 3 4 4 1   ,  ,  ,  线性_. （6） 设向量组 I 的秩为 1 r 向量组 II 的秩为 2 r ，且 I 可由 II 线性表示， 则 1 r , 2 r 的关系是_. （7） 设 (1,1,1) 1  , ( ,0, )  2  a b ， (1,3,2) 3  ，若 1 2 3  , , 线性相关，则 a,b 满足关系式_. （8） 设              n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， 其中 ai  0,bi  0, 则 R(A) = _. （9） 矩阵 A =   s n aij  与 B = s n r I          0 0 0 等价，则 R(A) = _

ax+by+G=0 (10)设4=a2ba2=b24=c2，则三条直线 {a2x+b2y+C2=0交 La」Lb」LcJ (axx+by+c3=0 与一点的充要条件是 2.选择题 (1)设向量组 (I)a1=(a,a2,a2a42=(6,b2,bha3=(G,c2,c (II)B=(a,a2,a5,a,B2=(6,b,b,b,),B3=(G,c2,C3,c, 则 (a)(I)线性相关，则(I)线性相关： (6)(I)线性无关，则(II)线性无关： (c)(II)线性无关，则(I)线性无关 (d)(I)线性无关的充分必要条件是(II)线性无关 (2)n维向量组线性无关的充要条件是 (a)4,42,4,.,&,均不为零向量 (b)a,a2,a,.,g中任意两个向量的分量不成比例 (c)4,a2,4,.,a,中任意一个向量不能由其余s-1个向量线性表示： (d)a,a,a,g,中有一部分向量组线性无关。 (3)如果向量B可有向量组a,凸，a,心，线性表示，则 (a)存在一组不全为零的数k,k,k,使等式 B=ka+ka2+.+k,a 成立： 6)对B的线性表示不唯一： (c)存在一组B,4,2,心，a线性相关： (d)存在一组全为零的数k,k,k使B=k%+kc%2+.+k,&, (4)设A为n阶矩阵，且A的行列式A=0则在A中 (a)必有一列元素全为零 (6)必有一列向量是其余列向量的线性组合 ()必有一列向量是其余列向量的线性组合

（10）设 , 3 2 1 1            a a a  , 3 2 1 2            b b b  , 3 2 1 3            c c c  则三条直线               0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c a x b y c 交 与一点的充要条件是_. 2. 选择题 （1）设向量组 （I） ( , , ), 1  a1 a2 a3 ( , , ),  2  b1 b2 b3 ( , , ), 3 1 2 3   c c c (II) ( , , , ), 1  a1 a2 a3 a4 ( , , , ),  2  b1 b2 b3 b4 ( , , , ), 3 1 2 3 4   c c c c 则 (a) （I）线性相关，则(II)线性相关； (b) （I）线性无关，则(II)线性无关； (c) (II) 线性无关，则（I）线性无关 (d) （I）线性无关的充分必要条件是(II)线性无关 （2） n 维向量组线性无关的充要条件是_. (a)    s , , , , 1 2 3  均不为零向量 (b)    s , , , , 1 2 3  中任意两个向量的分量不成比例； (c)    s , , , , 1 2 3  中任意一个向量不能由其余 s -1 个向量线性表示； (d)    s , , , , 1 2 3  中有一部分向量组线性无关. （3）如果向量  可有向量组    s , , , , 1 2 3  线性表示，则_. (a) 存在一组不全为零的数 s k , k ,.,k 1 2 使等式 s s   k11  k22  k  成立; (b) 对  的线性表示不唯一; (c) 存在一组  ,   s , , , , 1 2 3  线性相关; (d) 存在一组全为零的数 s k , k ,.,k 1 2 使 s s   k11  k22  k  . （4）设 A 为 n 阶矩阵，且 A 的行列式 A  0 则在 A 中_. (a)必有一列元素全为零 (b)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (c)必有一列向量是其余列向量的线性组合

(d)任一列向量是其余列向量的线性组合 (5)设n阶矩阵A的秩r<n,则在A的n行向量中 (a)必有r个行向量线性无关： (6)任意r个行向量均可构成极大无关组 (c)任意r个行向量均线性无关 ()任意行向量均可由其它r个行向量线性表示 3.判断是非 (1)若向量组4,2，.，an线性相关，则a可由C2,4,.,an线性表示 (2)如果向量组41，a2,.,a,线性无关，向量αp1不能由a,a,.,a线 性表示，那么向量组a,a2,.,a,a1线性无关. (3)若向量组a4,2,.,an线性相关，向量组B,B2,Bn亦线性相关， 则有不全为零的数，.，使得 a1+2a+.+n0m=0 B+B2+.+入nBn=0 同时成立 (4)设向量组a,必，.，am线性相关，B,B,.,Bn亦线性相关，那么 %1+B,42+B2,.,心m+阝n亦线性相关. (5)设向量组α1,2，.，&n中任意两个向量组成的部分组线性无关，则 a,凸，.，Cm线性无关 (6)线形相关向量组的任意部分组必线性无关 (7)等价向量组含有相同个数的向量 (8)秩相同的两个向量组等价. (9)若向量组a,a2,an的部分组a,a2,a,(r<m)线性无关，且 a,a2,a,ar线性无关，则a,a2,a,为向量组g,a2,an的一个最大无 关组。 (10)若向量组0可由a,a2,a,线性表示，但不能由a4,a2,.,a-线 性表示，那么向量组a,a,a,与向量组a,4,a,a等价. 4.计算与证明

(d)任一列向量是其余列向量的线性组合 （5）设 n 阶矩阵 A 的秩 r  n ，则在 A 的 n 行向量中_. (a)必有 r 个行向量线性无关； (b)任意 r 个行向量均可构成极大无关组 (c)任意 r 个行向量均线性无关 (d)任意行向量均可由其它 r 个行向量线性表示 3. 判断是非 （1） 若向量组    m , , , 1 2  线性相关，则 1 可由    m , , , 2 3  线性表示 （2） 如果向量组    r , , , 1 2  线性无关，向量  r1 不能由    r , , , 1 2  线 性表示，那么向量组    r , , , 1 2  , r1 线性无关. （3） 若向量组    m , , , 1 2  线性相关，向量组    m , , , 1 2  亦线性相关， 则有不全为零的数    m , , , 1 2  ,使得 11  2 2   m m  0 11  22  m m  0 同时成立. （4） 设向量组    m , , , 1 2  线性相关，    m , , , 1 2  亦线性相关，那么        m   m , , , 1 1 2 2  亦线性相关. （5） 设向量组    m , , , 1 2  中任意两个向量组成的部分组线性无关，则    m , , , 1 2  线性无关. （6） 线形相关向量组的任意部分组必线性无关. （7） 等价向量组含有相同个数的向量. （8） 秩相同的两个向量组等价. （9） 若向量组    m , , , 1 2  的部分组    r , , , 1 2  ( r  m )线性无关，且    r , , , 1 2  , r1 线性无关，则    r , , , 1 2  为向量组    m , , , 1 2  的一个最大无 关组. （10） 若向量组  可由    r , , , 1 2  线性表示，但不能由 1 2 1 , , ,     r 线 性表示，那么向量组 1 2 1 , , ,     r , r 与向量组 1 2 1 , , ,     r , 等价. 4. 计算与证明

(1)设a,a,a是线性无关的，试证明： a)B=1+42-2a3,B2=a1-a2-43,B2=a1+a2线性无关： b)B,=2a1+a2+30,B2=a,+a2,B1=a,+a2线性相关 (2)已知向量组(I)a,a2,4:(Ⅱ)4,42,4，a:()4,42,a,a3 如果各向量组的秩分别R(1)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4.试证明：向量组 a1,a2,a3,a5-a4的秩为4. (3)a41=L1,2,3),42=L-1,1,a1=(1,3,3,5,a4=(4-2,5,6),a5=(31,5,7)求 该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用该极大无关组线性表示 (4)设有三维列向量 「0 间1取何值时， (a)B可由41,2，线性表示，且表达式唯一？ (b)B可由a4,42,a线性表示，且表达式不唯一？ (c)B不能由a,a2,a线性表示？ 答案与提示 1.填空题 (1)t=3;(2)2;(3)a1,a2,a4,a1,a3,a,或a,a4,a5;(4)t=5,t≠5： (5)相关：(6)万≤5(7)a=2b(8)R(A)=1(9)R(A)可(10)a,a2,a 线性相关41，α，线性无关 2.选择题 (1)(b):(2)(c片(3)(c；(4)(c):(5)(a): 3.判断是非 (1)错误：(2)正确：(3)错误：(4)错误；(5)错误：(6)错误；(7) 错误：(8)错误：(9)错误：(10)正确。 4.计算与证明 (1)证明)，设有k,k,k使kB,+k,B2+kB=0

(1) 设 1 2 3  , , 是线性无关的，试证明： a) 1  1 2  23 ， 2 1 2 3 3 1 2      ,    线性无关； b) 2 3 , 1  1  2  3 , 2  1  2 3  3  2 线性相关. (2) 已知向量组（Ⅰ） 1 2 3  , , ；（Ⅱ） 1 2 3  , , , 4 ;（Ⅲ） 1 2 3  , , ,5 . 如 果 各 向量 组的 秩 分别 R ( Ⅰ )= R ( Ⅱ )=3, R ( Ⅲ )=4, 试 证明 :向量组 1 2 3  , , ,5  4 的秩为 4. (3) (1,1,2,3), (1, 1,1,1), (1,3,3,5), (4, 2,5,6), (3,1,5,7) 1  2   3  4   5  求 该向量组的秩,并确定一个极大无关组,将其余向量用该极大无关组线性表示. (4) 设有三维列向量                                                           2 1 2 3 0 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 问  取何值时, (a)  可由 1 2 3  , , 线性表示,且表达式唯一? (b)  可由 1 2 3  , , 线性表示,且表达式不唯一? (c)  不能由 1 2 3  , , 线性表示? 答案与提示 1. 填空题 （1）t=3；（2）2；（3） 1 2 4  , , ， 1 3 4  , , 或 1 4 5  , , ；（4）t=5，t  5； （5）相关；（6） 1 2 r  r （7）a=2b（8）R（A）=1（9）R（A）=r（10） 1 2 3  , , 线性相关 1 2  , 线性无关 2．选择题 （1）（b）；（2）（c）；（3）（c）；（4）（c）；（5）（a）； 3．判断是非 （1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）错误；（6）错误；（7） 错误；（8）错误；（9）错误；（10）正确. 4. 计算与证明 （1）证明 a)，设有 1 2 3 k , k , k 使 k11  k22  k33  0

即 k(a1+%2-2a3)+k(a-3-a)+k(a1+2)=0 也就是 （k+k2+k3)a+（k-k3+k)a2+(-2k-k2)a,=0. 由a1,a2,a,的线性无关性得： k+k+k3=0 k-k2+k3=0 -2k-k2=0 由于该方程组的系数行列式为 11 D=1-11=-4≠0 -2-10 故方程组仅有零解k=k2=k=0所以B,B2,B,线性无关 b).设有数k,k2,k,使kB,+kB2+kB=0, k(2a1+a2+3a)+k(a1+a3)+k(2+a3)=0 也就是 (2k+k2)a1+(k1+k）a2+(3k+k+k3)a3=0 由a1,2,的线性无关得： 2k+k2=0 k+k=0 3k+k2+k=0 系数行列式为 210 101=0 311 故方程组有非零解，所以B,B2,B,线性相关. (2)只要证明a,a2,a3,a-a,线性无关即可.因为R(1)=R(I)=3,所以 a1,42,a,线性无关，而a1,a2,a,Q,线性相关，故存在数k,k2,k,k,使得 ka1+ka2+k3+k(C5-a4)=0

即 k1 1 2 23  k2 1 2 3  k3 1 2   0, 也就是 （ 1 2 3 k  k  k ） 1 +（ 1 2 3 k  k  k ） 2 +（ 2 1 2  k  k ） 3 =0. 由 1 2 3  , , 的线性无关性得：               2 0 0 0 1 2 1 2 3 1 2 3 k k k k k k k k 由于该方程组的系数行列式为 4 0 2 1 0 1 1 1 1 1 1      D   故方程组仅有零解 k1  k2  k3  0 所以 1 2 3  , , 线性无关. b)．设有数 1 2 3 k , k , k ，使 k11  k22  k33  0 , 即 k1 21 2 33  k2 1 3  k3 2 3   0 也就是 （ 2 1 2 k  k ） 1 +（ 1 3 k  k ） 2 +（ 3 1 2 3 k  k  k ） 3 =0 由 1 2 3  , , 的线性无关得：             3 0 0 2 0 1 2 3 1 3 1 2 k k k k k k k 系数行列式为 0 3 1 1 1 0 1 2 1 0  故方程组有非零解，所以 1 2 3  , , 线性相关. （2）只要证明 1 2 3  , , ，5 4 线性无关即可.因为 R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，所以 1 2 3  , , 线性无关，而 1 2 3  , , ，4 线性相关，故存在数 1 2 3 4 k , k , k , k ,使得 k11  k22  k33  k4 (5 4 )  0

由已知得 [k-元k,=0 k2-22k4=0 k3-k=0 k4=0 得k1=k2=k3=k=0,故a1,a2,a3,a-a4线性无关，其秩为4. (3)将1，a,1,a4,a为列向量构成矩阵A,对施行初等行变换，将其 化为阶梯形矩阵，求得a1,a2,a,a4,a,的秩为2，取a1,a2为其极大无关组，且 03=2a1-02,04=41+302,05=2a1+2 (4)a)≠0，且1=-3；b)1=0:c）元=-3

由已知得               0 0 0 0 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 k k k k k k k    得 k1  k2  k3  k4  0 ，故 1 2 3  , , ，5 4 线性无关，其秩为 4. (3) 将 1 2 3  , , ， 4 5  , 为列向量构成矩阵 A，对施行初等行变换，将其 化为阶梯形矩阵，求得 1 2 3  , , , 4 5  , 的秩为 2，取 1 2  , 为其极大无关组，且 3 1 2 4 1 2 5 2 1 2   2  ,   3 ,    (4）a)   0,且  3 ； b)   0 ；c)   3