《高等数学》课程教学资源（PPT课件）11.1对弧长的曲线积分

第十一章 曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分

第十一章 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲线积分与曲面积分

第一节 第十一章 对狐长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十一章

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例：曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在平面所占 弧段为AB,其线密度为P(x,y), M 为计算此构件的质量，采用 (5,7) △S “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=1im∑p(5,n,)A 2→01 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在平面所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 = n i 1 M = 为计算此构件的质量, i s Mi−1 Mi ( , ) i i 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.定义 设L是平面上一条有限长的光滑曲线，f(x,y)是定 义在L上的一个有界函数，若通过对L的任意分割和对 局部的任意取点，下列“乘积和式极限 (5,7,) mfG,nAs 记作 f(x,y)ds 都存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲线 △S M L上对弧长的曲线积分，或第一类曲线积分 (x,)称为被积函数，L称为积分弧段 曲线形构件的质量M=,p(x,y)ds HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L 设 L是平面上一条有限长的光滑曲线, 义在 L上的一个有界函数, i i i f ( , )s 都存在, L上对弧长的曲线积分, = 记作 L f (x, y)ds 若通过对 L 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数，L 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量  = L M  (x, y)ds = n i 1 0 lim → i s Mi−1 Mi ( , ) i i 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果T是空间中的曲线弧，则定义对弧长的曲线积 分为 f(yds =lim >f()As 2今0 如果L是闭曲线，则记为，f(x,y)ds 思考： (1)若在L上f,归l,问ds表示什么？ HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

如果 是空间中的曲线弧 , i i i n i i =  f s = → lim ( , , ) 1 0      f (x, y,z)ds 如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s 

3.性质 0)[f(x,y)±gxy,)]ds =fx,ya)d±」rg(x,y.a)ds (2)Jkfds =kfx.)ds (k为常数) ()dsds+f(ds (T由T,2组成) (4)d=l (1为曲线弧T的长度) HIGH EDUCATION PRESS 0C8 机动目录上页下页返回结束

3. 性质 (1)  f (x, y,z) ds  （k 为常数)  (3) f (x, y,z)ds (  由 组成) ( l 为曲线弧  的长度)  g(x, y,z)  = f (x, y,z)ds g(x, y,z)ds       = + 1 2 f (x, y,z)ds f (x, y,z)ds 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分 转化 计算定积分 定理：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=W(t)(a≤t≤) 上的连续函数，则曲线积分，f(x,y)ds存在，且 Jfyds=S"Mw(o2()+2@dt 证：根据定义 f(y)ds =f()As, 2→0 i=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

  =  +    f x y ds f  t  t  t  t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 i i n i i =  f s = → lim ( , ) 1 0    机动 目录 上页 下页 返回 结束

设各分点对应参数为 1(i=0,1,.,n)。 点(5，)对应参数为，∈[t1,t], A,=∫o)+g而d1 =√o2()+w()△1，t∈[11，] 则f(x,y)ds =m∑fo(a,)w(G,)1Vo2()+y2()△ 注意V02()+w)连续 =Im∑f[p(c,),y(e,)]p()+y(G)△1 20 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束

点 ( , ) i i s t t t i i t t i ( ) ( ) d 1 2 2  −  =  + ( ) ( ) , 2 2 i i i =   +  t = → = n i 1 0 lim  [ ( ), ( )] i i f     注意  2 (t) + 2 (t ) 连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则 = → = n i 1 0 lim  [ ( ), ( )] i i f     机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此 f(x,y)ds =∫g几1o.yu小p2)+w)d 说明： (①)△s,>0,∴.△1，>0，因此积分限必须满足α<B！ (2)注意到 ds =v(dx)2+(dy)2 =o2(t)+w2(t)dt 因此上述计算公式相当于”换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

dx dy ds x y o 说明: (1)   0,  0, i i  s t 因此积分限必须满足    ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 =  + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果曲线L的方程为y=yw(x)(a≤x≤b),则有 fx,y)s=∫fx,1+wP()dx 如果方程为极坐标形式：L:r=r(0)(α≤0≤B),则 ∫f(x,y)ds -fr(cos0,sin)(d 推广：设空间曲线弧的参数方程为 T:x=(t),y=y(t),z=o(t)(C≤t≤B） 则∫f(x,ds =f(o0).w0,o0)o20)+y20）+o20d HIGH EDUCATION PRESS O◆008 机动目录上页下页返回结束

如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: L :r = r( ) (    ), 则  =   f (r( )cos , r( )sin ) 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x =(t), y =(t), z =(t) (  t   ) 则  f (x, y,z)ds (t) (t) (t) d t 2 2 2  + + 1 (x) dx 2 + ( ) ( ) d 2 2 r + r   = b a f (x,(x))  =   f ((t) ,(t),(t) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束