《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 行列式 §1.3 n阶行列式的计算

一章 行列式 §1.3n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的 定理和行列式的性质计算行列式的方法， 例1计算行列式 y 1 2 -1 3 2 3 2 21 0 0 -2

第一章 行列式 §1.3 n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的 定理和行列式的性质计算行列式的方法. 例1 计算行列式 1 2 1 3 2 3 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 D − − = − −

第一章行列式 解： 12 -1 3 1 2 -1 3 2-21 0 -1 1 -4 0 -1 -4 D -1 1 1 0 0 3 0 3 0 1 -2 1 0 1 -2 1 -1 -4 -1 1 -3 三 3 0 3 3 0 0 1 -2 1 1 -2 0 -3 -3 =18 0

第一章 行列式 2 1 2 1 2 1 3 0 1 1 4 1 1 1 0 0 1 2 1 r r D − − − − = − − 3 1 1 2 1 3 0 1 1 4 0 3 0 3 0 1 2 1 r r + − − − = − 1 1 4 3 0 3 1 2 1 − − = − 3 1 1 1 3 3 0 0 1 2 0 c c − − − = − 1 3 3 18 2 0− = − = − 解：

第一章行列式 例2计算行列式 L b d L a+b a+b+c a+b+c+d D a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d 解： a b c d 4-3 3-2 0 a+b a+b+c D 2-1 0 a 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c

第一章 行列式 例2 计算行列式 2 3 2 4 3 2 3 6 3 10 6 3 a b c d a a b a b c a b c d D a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d + + + + + + = + + + + + + + + + + + + 4 3 3 2 2 1 0 0 2 3 2 0 3 6 3 r r r r r r a b c d a a b a b c D a a b a b c a a b a b c − − − + + + = + + + + + + 解：

第一章行列式 L a+b a+b+c =a a 2a+b 3a+2b+c a 3a+b 6a+3b+c a+b a+b+c 3-2 a 2a+b a 0 2a+b a 3a+b 0 3a+b 以上两例都是首先通过性质5将行列式某一行（列) 只保存一个非零元素，然后利用第二节定理1.2.1的推论， 降阶计算行列式的值，这是计算行列式常用的方法之

第一章 行列式 2 3 2 3 6 3 a a b a b c a a a b a b c a a b a b c + + + = + + + + + + 3 2 2 1 0 2 0 3 r r r r a a b a b c a a a b a a b − − + + + = + + 2 4 2 3 a a b a a a a b + = = + 以上两例都是首先通过性质5将行列式某一行（列） 只保存一个非零元素，然后利用第二节定理1.2.1的推论， 降阶计算行列式的值，这是计算行列式常用的方法之一

第一章行列式 例3计算 4 3 -1 -2 -6 5 3 1 2 -1 0 3 5 2 4 解： 1 2 -1 0 1 2 -1 0 2+2 1←→3 -2 -6 5 3 3-4 0 -2 3 3 D 三 4 1 3 -14-3n 0 -7 7 -1 3 5 2 4 0 -1 5

第一章 行列式 例3 计算 4 1 3 1 2 6 5 3 1 2 1 0 3 5 2 4 − − − − 1 3 1 2 1 0 2 6 5 3 4 1 3 1 3 5 2 4 r r D  − − − = − − 2 1 3 1 4 1 2 4 3 1 2 1 0 0 2 3 3 0 7 7 1 0 1 5 4 r r r r r r + − − − − = − − − − 解：

第一章行列式 1 2 -1 0 1 2 -1 0 2分r 0 -1 5 4 3-72 0 -1 5 4 0 -7 7 -1 4-252 0 0 -28 -29 0 -2 3 3 0 0 -7 -5 1 2 -1 0 1 2 -1 0 3→4 0 -1 5 4 r4-43 0 -1 5 4 0 0 -7 -5 0 0 -7 -5 0 0 -28 -29 0 0 0 -9 =-1×(-1)×(-7)×(-9)=63

第一章 行列式 2 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 7 7 1 0 2 3 3 r r  − − = − − − 3 2 4 2 7 2 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 28 29 0 0 7 5 r r r r − − − − = − − − − 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 28 29 r r  − − = − − − − − 4 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 0 9 r r − − − = − − − − = −  −  −  − = 1 ( 1) ( 7) ( 9) 63

第一章行列式 例3是利用行列式的性质2、5将行列式主对角线下 方的元素全化为零（即化为上三角行列式），行列式 的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过程具有 程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶 行列式的值. X 3 1-x1-y 1-z 例4设 y 01=1,求D= 4 3 21 1

第一章 行列式 例3是利用行列式的性质2、5将行列式主对角线下 方的元素全化为零（即化为上三角行列式），行列式 的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过程具有 程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶 行列式的值. 3 1 0 1 1 2 1 x y z = ， 1 1 1 4 1 3 1 1 1 x y z D − − − 例4 设 求 =

第一章行列式 解： D 4 3 + 4 3 1 1 1 1 1 1 -y X 2-3 4 1 3 三 3 0 2 1 1 1 1 3 1 y 0 -1 2 1

第一章 行列式 1 1 1 4 1 3 4 1 3 1 1 1 1 1 1 x y z D − − − = + 4 1 3 1 1 1 − − − x y z = 2 3 3 0 2 1 1 1 r r x y z − = − 3 1 0 1 2 1 xyz = − 解： = − 1

第一章行列式 例5设多项式 2 3 2-x2 2 3 f(x)= 2 3 1 5 2 3 1 9-x2 试求fx)的根. 解（方法一） 1 0 0 0 c2-C1 3-2c1 1 1-x2 0 0 f(x) 4-3c1 2 1 -3 -1 2 1 -3 3-x2

第一章 行列式 2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 ( ) 2 3 1 5 2 3 1 9 x f x x − = − 例5 设多项式 试求f(x)的根. 解 (方法一) 2 1 3 1 4 1 2 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 ( ) 2 1 3 1 2 1 3 3 c c c c c c x f x x − − − − = − − − −

第一章行列式 1 0 0 0 e43 1 1-x2 0 0 =-3(1-x2)(4-x2) 2 1 -3 2 1 -3 4-x2 求得fx)=0的根为x1=-1,x2=1,x3=-2,x=2 (方法二)有性质2推论3知，当2-x2=1或9-x2=5时，fx)=0. 故x1=-1,x2=1,x3=-2,x4=2为fx)=0的根.由于fx)为x的 4次多项式，因此fx)=0只有4个根

第一章 行列式 4 3 1 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 3 0 2 1 3 4 c c x x − − = − − − 2 2 = − − − 3(1 )(4 ) x x 求得f(x)=0的根为x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2 (方法二）有性质2推论3知，当2-x 2=1或9-x 2=5时，f(x)=0. 故x1 =-1，x2=1，x3 =-2，x4=2为f(x)=0的根.由于f(x)为x的 4次多项式，因此f(x)=0只有4个根