《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 行列式 §1.4 克拉默法则

第 一章 行列式 §1.4克拉默法则 二、 克拉默法则 二、 重要定理 三、小结思考题

第一章 行列式 三、小结 思考题 二、重要定理 一、克拉默法则 §1.4 克拉默法则

第一章行列式 一、 克拉默法则 11X1+12X2++41n火n=b1 设线性方程组 21x1+222+.+2nXn=b2 (1) nX1+an22+.+AuXn=bn 若常数项励，b,.,b不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式 由线性方程组)的系数构成的行列式 12 D L21 L22 称为方程组()的系数行列式

第一章 行列式 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为方程组(1)的系数行列式

第一章行列式 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式D≠0那么线性方程组()有解，并且解是唯 一的，解可以表为 X1= D D,x;D ; D ,.,Xn= D 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 01.0,-1b141j1.01m D nn

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D  0

第一章行列式 结论 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组. 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数 及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值

第一章 行列式 结论 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1) 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数 及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组

第一章行列式 例1用克拉默则解方程组 2x1+X2-5x3+x4=8, X1-3x2-6x4=9, 2x2-K3+2x4=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 2 1 -5 1 0 7 -5 13 1 -3 0 -6 1-2 1 -3 0 -6 D 0 2 -1 2 4- 0 2 2 6 0 12

第一章 行列式 例1 用克拉默则解方程组        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −

第一章行列式 7 5 13 -3 -5 3 C1+2C2 三一 2 -1 2 0 -1 0 c3+2c2 7-7 12 -7 -7 -2 -3 3 27, -7 -2 8 1 -5 1 1 2 8 -5 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 D1= D2 5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 10 -7 6 = 81, =-108

第一章 行列式 7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108

第一章行列式 2 8 1 2 -5 8 1 -3 9 -6 1 -3 0 9 D; 0 2 -5 Da 2 0 2 -1 -5 1 4 0 6 1 4 -7 0 =-27, 27, D 81 .X1= 3 D2 -108 D 27 27 D=-27 X4= D4=27=1 27 D 27

第一章 行列式 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27, 3, 27 81 1  1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x

第一章行列式 例2用克拉默法则解方程组 3x1+5x2+2x3+x4=3, 3x2+4x4=4, 七1+x2+3+x4=11/6, x1-X2-3X3+2x4=5/6. 3 5 2 1 解 03 0 4 D= =67≠0， 1 1 1 1 1 -1 -3 2

第一章 行列式 例2 用克拉默法则解方程组        − − + = + + + = + = + + + = 3 2 5 6. 11 6, 3 4 4, 3 5 2 3, 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 1 3 2 1 1 1 1 0 3 0 4 3 5 2 1 − − D = = 67  0

第一章行列式 3 5 2 33 2 4 3 0 67 0 0 4 D1= 3, 0, 11/6 1 111/6 1 1 5/6 -1 -3 2 1 5/6 -3 2 3 5 3 1 35 2 3 0 3 4 4 0 3 0 4 D. 67 =67, 1 1 11/6 1 2 D.= 1 1111/6 1 -1 5/6 2 1 -1-35/6

第一章 行列式 5 6 1 3 2 11 6 1 1 1 4 3 0 4 3 5 2 1 1 − − D = , 3 67 = 1 5 6 3 2 1 11 6 1 1 0 4 0 4 3 3 2 1 2 − D = = 0, 1 1 5 6 2 1 1 11 6 1 0 3 4 4 3 5 3 1 3 − D = , 2 67 = 1 1 3 5 6 1 1 1 11 6 0 3 0 4 3 5 2 3 4 − − D = = 67