《高等数学》课程教学资源（PPT课件）10.1二重积分的概念与性质

第十章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分

第一为 第十章 二重积分的桡念与性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章

一、引例 z=f(x,y） 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底：xoy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)20 侧：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想 “大化小，常代变，近似和，求极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)大化小” 用任意曲线网分D为n个区域 z=f(x,y) △o1,△02，.，△Cn 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5k, 小曲顶柱体 2)常代变” (57) △OK 在每个△o.中任取一点(5,7)，则 △Vk≈f(5k,7k)△ok(k=1,2,.,n 3)"近似和” r-a八5m, k= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

D 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和”  =   n k k k k f 1 ( , )  ( , ) k k f   V f ( , ) (k 1,2, ,n)  k   k k  k =  中任取一点 则 小曲顶柱体  k ( , )  k k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

"取极限” 定义△o:的直径为 (△o)=max{PPP,D∈△o} 令=max{(△ok) lsk≤n z=f(x,y） V=jim()AGk 0k仁1 f(5,7 (5,n) △Ok HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

4)“取极限” ( k ) = max P1P2 P1 ,P2  k 令 max ( )  1 k k n  =      = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )   ( , ) k k f    k ( , )  k k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.平面薄片的质量 有一个平面薄片，在xoy平面上占有区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若4(x,y)三4（常数），设D的面积为o,则 M=uo 若4(x,y)非常数，仍可用 大化小，常代变，近似和，求极限 解决 1)大化小” 用任意曲线网分D为n个小区域Ao1,△o2,△on, 相应把薄片也分为小区域 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M =   若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小区域 . D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x

2)“常代变” 在每个△o,中任取一点(5k,k),则第k小块的质量 △Mk≈4(5,7k)△ok(k=1,2,.,n) 3)少近似和 -a,4点na 4)取极限” 令元=max{2(Aok)} (5k,7k)△oK 1≤k≤n M=Iim∑4(5k,ng)△o k= HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

2)“常代变” 在每个 k 中任取一点 ( , ),  k k 3)“近似和”  =   n k k k k 1  ( , )  4)“取极限” max ( ) 1 k k n  =     令  → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )    k ( , )  k k 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x

两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 大化小，常代变，近似和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积 n V=lim ∑f(5,k)△oE 元→0k 平面薄片的质量 M=lim之4(5k,7k)△o& 2-→0k=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”  = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )    → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )   曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、二重积分的定义及可积性 定义：设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数 将区域D任意分成n个小区域△o(k=1,2,.,n), 任取一点(5k,7k)∈△ok,若存在一个常数I,使 I lim ∬nfx,y)do 2→0 /5,W)a记雅 k=1 则称f(x,y)可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 f(x,y)d x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结束

二、二重积分的定义及可积性 定义: 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I为 f (x, y) 在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△ok=△k△yk,因此面积元素do也常 记作dxdy,二重积分记作 )dxdy 引例1中曲顶柱体体积 V=J∬ofx,y)do=∬pfx,dxdy 引例列2中平面薄板的质量： M=∬DA(x,)do=Jj∬D4(x,)dxd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 = D V f (x, y)d 引例1中曲顶柱体体积:  = D M  (x, y)d 引例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y) 在D上可积, 也常 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作  = D f (x, y)d x d y  = D  (x, y)d x d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束