《高等数学》课程教学资源（PPT课件）8.3平面及其方程

第三节 第八章 平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束

第三节 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第八章 一、曲面方程与空间曲线的概念

曲面方程与空间曲线的概念 定义1.如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,2)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 空间曲线可视为两曲面的交线 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

一、曲面方程与空间曲线的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 空间曲线可视为两曲面的交线, S2 L 1 S

二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点Mo(x,y%,二，)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MoM⊥n 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-y0,2-20) A(x-xo)+B(y-y%)+C(2-2o)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n=MM2×MM3 M M3 -34 -6 M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈，利用点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9y+1)-(2-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

i j k = 例2.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 - 4 -6 =0 -2 3 般情况：过三点Mk(xk,y%,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-X1 y-y 2-21 x2-x1y2-y1 22-21 =0 x3-X1 3-123-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 X+y+2=1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程， 分析利用三点式 x-a -a 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c  0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(42+B2+C2+0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,0,20,则 Ax0+B0+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(2-zo)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程， HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C  ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax+By+Cz+D=0 (42+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥，平面平行于x轴（或包含）； ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面（或包含）： ·Ax+By+D=0表示平行于：轴的平面（或包含）； ·Cz+D=0表示平行于xoy面的平面（或重合）： ·Ax+D=0表示平行于y0z面的平面（或重合）， ·By+D=0表示平行于Ox面的平面（或重合） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴（或包含）; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C  平行于 y 轴的平面（或包含）; 平行于 z 轴的平面（或包含）; 平行于 xoy 面 的平面(或重合); 平行于 yoz 面 的平面(或重合)； 平行于 zox 面 的平面(或重合). n = (0,B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0 例4.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例4.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By +Cz = 0 代入已知点 (4, −3, −1) 得 化简,得所求平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、两平面的夹角 两平面法向量的夹角（常为锐角）称为两平面的夹角. 设平面Π的法向量为=(41，B,C) n 平面T的法向量为2=(A2,B2,C2) 则两平面夹角的余弦为 cos0= 元 n 即 A42+B B2 +C C2 cos0= +B2+C24+B,2+C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贡下页返回结束

四、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 +C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B +C 2 1 2 1 2 A1 + B +C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2  n2 n1  ( , , ) n1 = A1 B1 C1 ( , , ) n2 = A2 B2 C2 1 2 1 2 cos n n n  n  = 机动 目录 上页 下页 返回 结束